Encontrar el límite de una expresión que implique una secuencia recursiva

Question

Dejemos que $(x_n)_{n\geq1}$ sea una secuencia tal que $x_1 = x >1$ y

\begin{align} x_{n+1}=x_n + \sqrt{x_n} - 1, n\geq 1\\ \end{align}

Evaluar

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{4x_n -n^2}{n \log n} \end{align}

Mi intento: Que $y_n=\sqrt{x_n}$ Ahora tenemos $\lim_{n\to \infty} \frac{4y_{n}^2 -n^2}{n \log n}$

Estoy tratando de encontrar un límite superior al valor absoluto de esta expresión mediante la eliminación del registro, sin embargo no estoy seguro de cualquier límite inferior al registro.

Actualización: Desde $y_{n+1}^2 = y_n^2 + y_n - 1 = (y_n + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$ tenemos $y_{n+1} < y_n + \frac{1}{2}$ así que $2y_n -n = O(n)$ (No estoy seguro de que esto sea válido). Escribir $\frac{4y_{n}^2 -n^2}{n \log n}$ como $\frac{2y_n - n}{n} \frac{2y_n + n}{\log n}$ el valor abs de la primera fracción se acercará a uno. Sin embargo, entonces estoy atascado con la segunda fracción.

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Desde $y_1>1$ vemos por inducción que $y_{n+1}>y_n>1$ . La secuencia es monótona creciente, pero no puede tener un límite finito $\alpha>1$ porque no podemos tener $\alpha^2=\alpha^2+\alpha-1$ Entonces. Esto significa que $y_n\to\infty$ como $n\to\infty$ . Tenemos $$y_{n+1}-y_n=\frac{y^2_{n+1}-y^2_n}{y_{n+1}+y_n}=\frac{y_n-1}{y_{n+1}+y_n},$$ así que $$2(y_{n+1}-y_n)-1=-\frac{2+y_{n+1}-y_n}{y_{n+1}+y_n}\tag1.$$ El numerador del lado derecho está entre $2$ y $5/2$ por lo que la RHS converge a $0$ como $n\to\infty$ y $$\lim_{n\to\infty}(y_{n+1}-y_n)=\frac12.$$ Por el Teorema de Stolz-Cesàro , $$\lim_{n\to\infty}\frac{2y_n+n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2(y_{n+1}-y_n)+1}{(n+1)-n}=2.$$ De la misma manera, utilizando (1), \begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{2y_n-n}{\log n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{2(y_{n+1}-y_n)-1}{\log(n+1)-\log n}\\ &=-\lim_{n\to\infty}\frac n{y_{n+1}+y_n}\cdot\frac{2+y_{n+1}-y_n}{n\,(\log(n+1)-\log n)}\\&=-1\cdot\frac{2+\frac12}1=-\frac52 \end{align} Así que el resultado final es $$\lim_{n\to\infty}\frac{4\,x_n-n}{n\log n}=-5.$$