Convergencia de Series Infinitas

Question

¿Cómo puedo determinar que la siguiente serie es convergente:

$$ \sum_ {x=1}^ \infty \sqrt [3]{x^3+1}-x $$

Utilicé la prueba de divergencia límite y encontré que el límite del n-ésimo término es cero. Así que eso no sirvió de nada. La prueba integral no vale la pena ya que la integración de esta función es muy difícil. La prueba de proporción y la prueba de raíz tampoco son apropiadas. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Puedes hacerlo como dice Ron Gordon, que también fue mi primera pista. Así que aquí hay un enfoque un poco menos de baja tecnología usando expansiones de Taylor. $$ \sqrt [3]{n^3+1}-n=n \left ( \sqrt [3]{1+ \frac {1}{n^3}}-1 \right )=n \left ( 1+ \frac {1}{3} \frac {1}{n^3}+O \left ( \frac {1}{n^6} \right ) -1 \right ) $$ $$= \frac {1}{3} \frac {1}{n^2}+O \left ( \frac {1}{n^5} \right ) \sim \frac {1}{3n^2}. $$

Así que la serie converge por el límite en comparación con $ \sum_ {n \geq 1} \frac {1}{n^2}$ .

Nota: Simplemente he usado la expansión de Taylor $(1+u)^ \alpha =1+ \alpha u+O(u^2)$ como $u$ tiende a $0$ .

Answer 2

Use la relación

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+a b+b^2)$$

con $a=(x^3+1)^{1/3}$ y $b=x$ .

La suma es igual a

$$ \frac {1}{(x^3+1)^{2/3} + x (x^3+1)^{1/3} + x^{2}} \sim\frac {1}{3 x^2}$$

como $x \rightarrow \infty $ . Entonces usa la prueba de comparación.