Estoy tratando de aprender de un libro llamado "Cálculo Vectorial, Álgebra Lineal y diferencial de las formas".
En el capítulo 0.5, hay una prueba en la menor cota superior de la propiedad de reales. Estoy aprendiendo el material por mí mismo, así que no tiene a nadie para preguntar acerca de lo que el autor está diciendo en la prueba.
La Prueba continúa así: (la negrita textos están escritos por el autor, y el normal textos son mis preguntas)
Necesita mostrar: Todo subconjunto no vacío $X\subset \mathbb{R}$ que tiene un límite superior tiene al menos un límite inferior $\sup X$ (*Q1. No quiere decir $\sup X \in X$ en todos los casos, no? Necesito estar seguro).
Prueba. Vamos a construir sucesivas decimales de supX
Supongamos $x \in X$ (desde $X \neq \varnothing$ , $\exists x \in X$), y $a$ es un límite superior de $X$. Vamos a suponer que $x >0$.
Si $x = a$, luego supX = un. Si $x \neq a$ (lo que significa que $x < a$), hay un mayor $j \in \mathbb{N}$ tal que $[x]_{j} < [a]_{j}$
(* Entendí esto con este ejemplo: Supongamos que x = 3.127898... y a = 3.129876... Entonces, $[x]_{-2}$ = 3.12, $[a]_{-2}$ = 3.12 PERO $[x]_{-3}$ = 3.127 < 3.129 = $[a]_{-3}$ Por lo tanto, en este caso, $j = -3$
Pero cuando $x_{2} = 35.054345$$a_{2} = 100.34523$,, $[a_{2}]_{2} = 100 > 35 = [x_{2}]_{2}$, y en este caso, $j = 2$
)
Hay 10 números que tienen el mismo $k_{2}$th dígitos como x para $k_{1} > j$ y el 0 como el $k_{2}$ th dígito $k_{2} < j$
(* Siguiendo el ejemplo anterior con x = 3.127898... y j=-3, entendí esos 10 números: $n_{0}$ = 3.12000000 $n_{1}$ = 3.12100000... $n_{2}$ = 3.12200000... ... $n_{9}$ = 3.1290000...)
Considerar a aquellos que están en $[[x]_{j},a]$ (* Pensé que el autor quiso decir "Entre $n_{0},...,n_{9}$,considerar esas ...)
Este conjunto es no vacío, ya que $[x]_{j}$ es uno de ellos. (* Supuse que "este conjunto de" ser: {$n_{0},n_{1},n_{2},...,n_{9}$}$\cap$ $[[x]_{j},a]$, y desde $[x]_{j} \in \left \{n_{0},n_{1},...,n_{9}\right \}$ "este conjunto" no está vacía.)
Deje $b_{j}$ ser el más grande tal que $X \cap [b_{j},a] \neq \varnothing$; $b_{j}$ existe, ya que las $x \in X \cap [[x]_{j},a]$. (*Estoy confundido acerca de lo que esto está diciendo...es $b_{j}$ $n_{1},...,n_{9}$ o es sólo otro número real?)
Ahora, consideremos el conjunto de los números en $[b_{j},a]$ que tienen el mismo k-ésimo dígito como $b_{j}$ $k>j-1$ y 0 $k<j-1$. Este es un conjunto no vacío con un máximo de 10 elementos, y $b_{j}$ es uno de ellos (el más pequeño). Llame a $b_{j-1}$ el más grande tal que $X \cap [b_{j-1},a] \neq \varnothing$. Tal $b_{j-1}$ existe, ya que si es necesario podemos optar $b_{j}$. Seguir adelante de esta manera, la definición de $b_{j-2},b_{j-3},$ y así sucesivamente.
Deje que b sea el número cuyo n-ésimo dígito decimal (para todo n) es el mismo que el n-ésimo dígito decimal de $b_{k}$.
Pretendemos que b = supX. De hecho, si $\exists y \in X$$y > b$, entonces no es un primer dígito k de y que difiere de la del k-ésimo dígito de b, y $b_{k}$ no fue el número más grande con k dígitos que no es una cota superior, ya que el uso de la k-ésimo dígito de y daría a uno más grande. (* ok...no estoy 100% de conseguir lo que el autor quiere decir aquí...)
Así que b es una cota superior. Ahora, supongamos que b' < b también es una cota superior. De nuevo, hay un primer dígito k de b, que difiere de la del k-ésimo dígito de b'. Esto contradice el hecho de que $b_{k}$ no fue una cota superior, ya que, a continuación,$b_{k} > b$.
caramba que era largo...de todos modos, me ayudan a comprender esta la prueba! Gracias :D
