"Si$x$ no es una unidad, entonces$1-ux$ es una unidad"

Question

No entiendo estas dos líneas de mi libro. Estamos dado que el $R$ es un anillo local.

Si cada $2$-generador submódulo es cíclico y $Ra$, $Rb$ se da, entonces $Ra+Rb=Rc$, por lo tanto $a=xc,b=yc,c=ua+vb$, lo $c=uxc+vb$. Si $x$ no es una unidad, entonces la $1-ux$ es una unidad, por lo $Ra\subseteq Rc \subseteq Rb$.

En primer lugar, a partir de la definición de un anillo local, si $x$ no es una unidad, entonces la $1-x$ es. Pero, ¿cómo podemos deducir que $1-ux$ es?

Es un error tipográfico? Si no, ¿cuál es la importancia de $ux$? ¿De dónde vienen? Sólo puedo ver que la reorganización de las ecuaciones en el texto llegamos $c(1-ux)=vb$.

Answer 1

Si$x$ no es una unidad, entonces lo es$ux$ para cualquier$u$. Esto es cierto en cualquier anillo conmutativo. De lo contrario, tendríamos$$(ux)^{-1}ux=((ux)^{-1}u)x=1$ $ Esto contradice la suposición de que$x$ no es una unidad.

Si el anillo no es conmutativo, podemos obtener el resultado de que$ux$ no es una unidad por el hecho de que las no-unidades forman un ideal en un anillo local.

Answer 2

$1-ux$ no puede estar en el ideal máximo, ya que$x$ es y, por lo tanto,$ux$ es. Y dado que tenemos un anillo local, cualquier elemento que no esté en el ideal máximo debe ser una unidad.