Es cada vector $[a_1,a_2,\dots, a_n]$ $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=1$ a una columna en la matriz $A\in GL(n,\mathbb{Z})$?
No creo que este es un duplicado: Permítanme reformular esta pregunta usando la notación y la solución para que el hilo No existen tales una matriz invertible?
Dado un PID $A$$a_1\in A^n$, cuando no existe $a_2,\dots, a_n\in A^n$ tal que $$A a_1\oplus \cdots \oplus A a_n= A^n\ ?$$
Por la solución en el hilo de "¿existe tal invertible la matriz?", dada la existencia de $a_2,\cdots,a_n$, esto implica la existencia de una matriz de $B\in GL(n,\mathbb{Z})$ $a_1$ la primera columna. Pero dado $a_1$ no siempre existe el $a_2,\cdots,a_n$. Por ejemplo, si $A=\mathbb{Z}$, entonces si no es $a_2,\cdots,a_n$, está claro que $a_1$ tendría que satisfacer $a_1= a_{1j}e_1 +\cdots + a_{1n} e_n$$\gcd(a_{11},\cdots, a_{1n})=1$. Estoy tratando de demostrar lo contrario. Tal vez esto es más trivial, pero esto es lo que no estoy seguro de cómo probar.
Respuesta
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Al replicar el algoritmo de Euclides, podemos encontrar una matriz $P\in GL(n,\mathbb Z)$, que es el producto de una matriz de permutación y de transvection (corte) de las matrices correspondientes a operaciones elementales con sus filas, de tal manera que $$ P\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots \\a_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix} $$ Ahora, de convencerse de que la matriz de $P^{-1} \in GL(n,\mathbb Z)$ respuestas al problema.
Ejemplo: las operaciones $$ \begin{bmatrix}15\\6\\10\end{bmatrix} \xrightarrow{\substack{L_1 := L_1 - 2L_2\\L_3 := L_3 - L_2}} \begin{bmatrix}3\\6\\4\end{bmatrix} \xrightarrow{\substack{L_2 := L_2 - 2L_1\\L_3 := L_3 - L_1}} \begin{bmatrix}3\\0\\1\end{bmatrix} \xrightarrow{\substack{L_1 := L_1 - 3L_3}} \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} $$ llevar a $$ P = \begin{bmatrix}0 & 0& 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0& -3\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0& 0\\-2 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 1\end{bmatrix} $$ y, finalmente, $$ P^{-1} = \begin{bmatrix}15 & 2 & 5\\6 & 1 & 2\\10 & 1 & 3\end{bmatrix} $$
