Que $X_1, \ldots, X_n \sim \mathrm{Uniform}(0,T)$ y $T^\wedge = \max{X_1, \ldots, X_n}$, que es el estimador de $T$. ¿Qué es el sesgo y se de este estimador? Si $n=1$, entonces el cálculo del sesgo y el error estándar es muy sencillos ($\text{bias}=-T/2$ y $\text{se}=\sqrt{T^2/12}$. ¿Pero no estoy seguro de cómo ir por ello cuando tenemos muestras de $n$ como en este problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos cambiar la notación un poco, para hacer que escribir sea más fácil. Vamos a la $X_i$ estar distribuidos de manera uniforme en $[0,a]$, y deje $Y=\max(X_1,\dots,X_n)$. Nos encontramos con la distribución de $Y$. Para los que tendremos que asumir que el $X_i$ son independientes. Sin esa suposición, o otra información detallada acerca de la distribución conjunta de las $X_i$, no podemos resolver el problema.
La probabilidad de que $Y\le y$ es la probabilidad de que todos los $X_i$$\le y$. Para $0\le y\le a$, esto es $\left(\dfrac{y}{a}\right)^n$. Que da la función de densidad de $\dfrac{ny^{n-1}}{a^n}$$(0,a)$, e $0$ en otros lugares.
Ahora podemos calcular la expectativa de $Y$, y la variación de $Y$, mediante el uso de métodos estándar. Se encuentra después de la integración de ese $E(Y)=\dfrac{n}{n+1}a$.
Para la varianza, el uso de $E(Y^2)-(E(Y))^2$. Usted encontrará que $E(Y^2)=\dfrac{n}{n+2}a^2$, y por lo tanto $\operatorname{Var}(Y)= \dfrac{n}{(n+1)^2(n+2)}a^2$.
