Una desigualdad homogénea pero ligeramente asimétrica que implica $L_1,L_{p-1}$ y $L_p$ normas.

Question

Necesito demostrar o refutar la siguiente desigualdad para cualquier $Z=(z_1,\ldots,z_l)\in\mathbb{C}^L$ y para cualquier $p\geq 2$ , $$\biggl|\biggl\|\sum_{j=1}^L z_j\biggr\|^p - \sum_{j=1}^{L}\|z_j\|^p\biggr|\leq\frac{L^{p-1}-1}{L-1}\sum_{i\neq j}\|z_i\|\cdot\|z_j\|^{p-1}.\tag{1}$$ Aquí el término $$\sum_{i\neq j}\|z_i\|\cdot\|z_j\|^{p-1} = \sum_{j=1}^{L}\|z_j\|\sum_{j=1}^{L}\|z_j\|^{p-1}-\sum_{j=1}^{L}\|z_j\|^p = \|Z\|_1\cdot\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_{p}^{p}$$ es tratable, pero el LHS en $(1)$ no es invariable si sustituimos, por ejemplo, $z_k$ con $e^{i\theta_k}z_k$ .

No obstante, como $(1)$ es homogénea podemos suponer $\|\sum_{j=1}^{L}z_j\|=L$ o $\sum_{j=1}^L \|z_j\|=L$ sin pérdida de generalidad.

Para mis propósitos, una forma más débil de $(1)$ , id est

$$\exists C_{p,L}:\forall Z\in\mathbb{C}^L,\quad\biggl|\biggl\|\sum_{j=1}^L z_j\biggr\|^p - \|Z\|_p^p \biggr|\leq C_{p,L}\cdot\sum_{i\neq j}\|z_i\|\cdot\|z_j\|^{p-1}\tag{2}$$ es suficiente, y creo que $(2)$ se desprende, de alguna manera, de Desigualdades de Hanner pero no conseguí probarlo. Escribir $$ z_k = A_k \exp(i\theta_k),\quad A_k\in\mathbb{R}^+ \tag{3}$$ puede ser útil para tratar $(1)$ como una desigualdad entre sumas exponenciales ponderadas.

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Cuando $p=2$ Tenemos que demostrarlo: $$ \left\|\sum z_i\right\|^2-\sum\|z_i\|^2 \leq \left(\sum \|z_i\|\right)^2-\sum\|z_i\|^2,\tag{4}$$ $$ \sum\|z_i\|^2-\left\|\sum z_i\right\|^2\leq \left(\sum \|z_i\|\right)^2-\sum\|z_i\|^2,\tag{5}$$ donde $(4)$ se deduce de la desigualdad del triángulo y $(5)$ es equivalente, a través de $(3)$ hasta lo trivial: $$0\leq \sum_{i<j}2A_i A_j\left(1+\cos(\theta_i-\theta_j)\right).\tag{6}$$

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Para demostrar $$\exists C_{p,L}:\forall Z\in\mathbb{C}^L,\quad\biggl\|\sum_{j=1}^L z_j\biggr\|^p - \|Z\|_p^p \leq C_{p,L}\cdot\sum_{i\neq j}\|z_i\|\cdot\|z_j\|^{p-1}\tag{2+},$$ suponiendo que $\|z_1\|=1-\varepsilon$ y $\|Z\|_1=1$ tenemos que encontrar $C_{p,L}$ tal que: \begin{equation*}1+(C_{p,L}-1)\|Z\|_p^p\leq C_{p,L}\|Z\|_{p-1}^{p-1},\tag{E1}\end{equation*} por lo que sólo tenemos que encontrar un $C_{p,L}$ de manera que, fijando $W=(\|z_2\|,\ldots,\|z_L\|)$ : $$ C_{p,L}\geq \frac{1-(1-\varepsilon)^p-\|W\|_p^p}{\varepsilon(1-\varepsilon)^{p-1}+\|W\|_{p-1}^{p-1}-\|W\|_p^p} $$ $$ C_{p,L}\geq \frac{1-(1-\varepsilon)^p-\|W\|_p^p}{\varepsilon(1-\varepsilon)^{p-1}+(1-\varepsilon)\|W\|_{p-1}^{p-1}+\varepsilon\|W\|_{p-1}^{p-1}-\|W\|_p^p} $$ donde $\|W\|_1=\varepsilon$ . Desde $$\frac{1-(1-\varepsilon)^p-\|W\|_p^p}{\varepsilon(1-\varepsilon)^{p-1}+(1-\varepsilon)\|W\|_{p-1}^{p-1}+\varepsilon\|W\|_{p-1}^{p-1}-\|W\|_p^p} \leq \frac{1-(1-\varepsilon)^p-\|W\|_p^p}{\varepsilon(1-\varepsilon)^{p-1}+(1-\varepsilon)\|W\|_{p-1}^{p-1}+\frac{1}{C_{p,L-1}}\left(\varepsilon^p-\|W\|_p^p\right)} $$ se cumple por la hipótesis de inducción, basta con encontrar $C_{p,L}$ tal que: $$C_{p,L}\geq \frac{1-(1-\varepsilon)^p-\|W\|_p^p}{\varepsilon(1-\varepsilon)^{p-1}+(1-\varepsilon)\|W\|_{p-1}^{p-1}}$$ o $$C_{p,L}\geq \frac{1}{1-\varepsilon}\cdot\frac{\frac{1-(1-\varepsilon)^p}{\varepsilon}-\left(\frac{\varepsilon}{L-1}\right)^{p-1}}{(1-\varepsilon)^{p-2}+\left(\frac{\varepsilon}{L-1}\right)^{p-2}}.$$ Dado que el lado derecho es una función creciente con respecto a $\varepsilon$ y $\varepsilon\leq\frac{L-1}{L}$ el lado derecho está limitado por su valor en $\varepsilon=\frac{L-1}{L}$ , por lo que la elección $$C_{p,L}=\frac{L}{2}\cdot\frac{L^{p-1}-1}{L-1}$$ es eficaz. Esta constante es sólo $L/2$ veces la constante óptima.

Answer 1

Aquí hay una hoja de ruta para probar $(1)$ . Se necesitan dos lemas preliminares: $$\| Z \|_1^p \leq L^{p-1}\|Z\|_p^p\,, \tag{A}$$ $$ \frac{1}{L}\|Z\|_1 \|Z\|_{p-1}^{p-1} \leq \|Z\|_p^p \leq \|Z\|_1 \|Z\|_{p-1}^{p-1}.\tag{B}$$ $(A)$ se deduce de la desigualdad de Holder, el lado derecho de $(B)$ es trivial y el lado izquierdo de $(B)$ se desprende de la convexidad logarítmica de $$ g(h) = \|Z\|_{h}^{h}.$$ Para demostrar que $g$ es una función log-convexa, $$g(h)g''(h)\geq g'(h)^2 \tag{C}$$ es suficiente, pero $(C)$ es equivalente a: $$\left(\sum\|z_k\|^h\right)\cdot\left( \sum\|z_k\|^h\log^2(\|z_k\|)\right) \geq \left(\sum\|z_k\|^h\log\|z_k\|\right)^2$$ que se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ahora hay dos partes.

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Primera parte.

$$\left\|\sum z_k\right\|^p-\|Z\|_p^p\leq \frac{L^{p-1}-1}{L-1}\left(\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_p^p\right)\tag{D}$$ se desprende de $$\|Z\|_1^p-\|Z\|_p^p\leq \frac{L^{p-1}-1}{L-1}\left(\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_p^p\right)$$ que es equivalente a: $$(L-1)\|Z\|_1^p+(L^{p-1}-L)\|Z\|_p^p\leq (L^{p-1}-1)\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}\tag{E}$$ o a: $$L\|Z\|_1^p+L^{p-1}\|Z\|_p^p+\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}\leq L^{p-1}\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}+\|Z\|_1^p+L\|Z\|_p^p\tag{F}.$$ Obsérvese que el primer y el último término del LHS y del RHS satisfacen la desigualdad en la dirección correcta ( $\leq$ ), términos intermedios en la incorrecta ( $\geq$ ). Ahora creo firmemente que $(F)$ que se asemeja a la La desigualdad de Schur se puede demostrar a través de la desigualdad de Karamata. En términos de la $g$ -función, $(F)$ se convierte: $$g(0)g(1)^p+g(0)^{p-1}g(p)+g(1)g(p-1)\leq g(0)^{p-1}g(1)g(p-1)+g(1)^p+g(0)g(p).\tag{G}$$ Escribir $(E)$ en términos de $A_k$ s y asumiendo wlog $\sum A_k=L$ podemos resolver $(E)$ mediante multiplicadores de Lagrange. Las condiciones de Lagrange son $$\lambda = A_k^{p-2}\left((L^{p-1}-L)pA_k-(L^{p-1}-1)(p-1)\right),$$ que se resumen en: $$L\lambda = p(L^{p-1}-L)\sum A_k^{p-1}-(L^{p-1}-1)(p-1)\sum A_k^{p-2}.$$ Por desgracia, la función $$l(x) = x^{p-2}\left((L^{p-1}-L)px-(L^{p-1}-1)(p-1)\right)$$

no es inyectiva, por lo que no podemos establecer que el único punto estacionario de $(E)$ es $A_1=\ldots=A_L=1$ . Es interesante notar que, si logramos demostrar que la función

$$t(p) = \left(\frac{\|Z\|_p}{\|Z\|_1}\right)^p+\left(\frac{\|Z\|_{p-1}}{L\,\|Z\|_1}\right)^{p-1}-\frac{1}{L^{p-1}}$$ o $$r(p) = L^{p-1}\|Z\|_p^p + \|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_1^p \tag{H}$$ está disminuyendo, $(E)$ también sigue.

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Segunda parte. Tenemos que demostrarlo: $$\|Z\|_p^p-\left\|\sum z_k\right\|^p\leq K\,\left(\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_p^p\right)$$ que se desprende de $$\|Z\|_p^p\leq\frac{K}{K+1}\|Z\|_1\|Z\|_{p-1}^{p-1},\tag{I}$$ pero si normalizamos las variables fijando $\|Z\|_1=\frac{K+1}{K}$ , $(I)$ es trivial, por lo que, para demostrar $(2)$ basta con demostrar $(2)$ sin los valores absolutos en el lado izquierdo, o para demostrar:

$$1-\sum_{k=1}^{L} A_k^p \leq C(p)\cdot\sum_{i\neq j}A_i A_j^{p-1}\tag{7}$$ bajo la hipótesis de que el $A_k$ s son números no negativos que suman $1$ .

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Un truco razonable es diferenciar $(7)$ con respecto a $p$ y considerar que $C(2)=1$ funciona, así que $(7)$ se mantiene si $$C(p)\sum_{i\neq j}-A_j^{p-1}A_i \log A_j+\sum_{k}-A_k^p \log A_k\leq C'(p)\sum_{i\neq j}A_i A_j^{p-1}\tag{8}$$ se mantiene. Dado que $-x\log x$ toma valores en $[0,1/e]$ en $[0,1]$ , $$\frac{1}{e}\left(C(p)\sum_{i\neq j}A_j^{p-2}A_i +\sum_{k}A_k^{p-1}\right)\leq C'(p)\sum_{i\neq j}A_i A_j^{p-1}\tag{9}$$ es suficiente para demostrar $(8)$ . Podemos escribir $(9)$ como: $$C(p)\left(\|Z\|_{p-2}^{p-2}-\|Z\|_{p-1}^{p-1}\right) +\|Z\|_{p-1}^{p-1}\leq e\cdot C'(p)\,\left(\|Z\|_{p-1}^{p-1}-\|Z\|_{p}^{p}\right),\tag{10}$$ o: $$C(p)+\frac{g(p-1)}{g(p-2)-g(p-1)}\leq e\cdot C'(p)\cdot\frac{g(p-1)-g(p)}{g(p-2)-g(p-1)}.\tag{11}$$