Consideremos una contracción asignación $f$ actuar en el espacio métrico $(X,~\rho)$ ($f:X\to X$ y para cualquier $x,y\in X:\rho(f(x),f(y))\leq k~\rho(x,y),~ 0 < k < 1$). Si $X$ es completa, entonces existe un único punto fijo. ¿Pero hay un espacio incompleto para que esta propiedad tiene así? Creo que $X$ debe ser algo como gráfico de $\text{sin}~{1\over x}$, pero no sé cómo probarlo.
Gracias y perdón por mi inglés.
La sección 4 de este documento de Suzuki y Takahashi da un ejemplo de un espacio métrico, de hecho, un subespacio del plano Euclidiano (así parece que estábamos en el camino correcto!) -- que es incompleto, pero para la que cada asignación de contracción tiene un punto fijo.
Ellos van a la reparación de los asuntos mediante la definición de una "débilmente la contractura de asignación" y mostrando que un espacio métrico es completa iff cada débilmente la contractura asignación tiene un punto fijo.
Nota: yo no era consciente de este papel hasta que he leído esta pregunta. Luego he buscado en google -- la contracción de cartografía, caracterización de la integridad-y el papel se mostró de inmediato. (Espero que la lectura sea más cuidadosamente cuando tengo la oportunidad...)
Hay un sentido en el que cada punto fijo trata de un espacio métrico completo:
Teorema: Vamos a $X$ ser un conjunto arbitrario. Deje $f:X\to X$ ser una función con punto fijo $x$ tal que para todos los positivos números naturales $n$, y para todos los $y\neq x$,$f^n(y)\neq y$. Entonces existe una completa métrica $d$ $X$ tal que $f$ es un estricto contracción.
El teorema es originalmente por C. Bessaga y no es tan fácil de probar. Un período relativamente corto de prueba se puede encontrar aquí.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
