Asignación de contracción en un espacio métrico incompleto

Question

Consideremos una contracción asignación $f$ actuar en el espacio métrico $(X,~\rho)$ ($f:X\to X$ y para cualquier $x,y\in X:\rho(f(x),f(y))\leq k~\rho(x,y),~ 0 < k < 1$). Si $X$ es completa, entonces existe un único punto fijo. ¿Pero hay un espacio incompleto para que esta propiedad tiene así? Creo que $X$ debe ser algo como gráfico de $\text{sin}~{1\over x}$, pero no sé cómo probarlo.

Gracias y perdón por mi inglés.

Answer 1

La sección 4 de este documento de Suzuki y Takahashi da un ejemplo de un espacio métrico, de hecho, un subespacio del plano Euclidiano (así parece que estábamos en el camino correcto!) -- que es incompleto, pero para la que cada asignación de contracción tiene un punto fijo.

Ellos van a la reparación de los asuntos mediante la definición de una "débilmente la contractura de asignación" y mostrando que un espacio métrico es completa iff cada débilmente la contractura asignación tiene un punto fijo.

Nota: yo no era consciente de este papel hasta que he leído esta pregunta. Luego he buscado en google -- la contracción de cartografía, caracterización de la integridad-y el papel se mostró de inmediato. (Espero que la lectura sea más cuidadosamente cuando tengo la oportunidad...)

Answer 2

Hay un sentido en el que cada punto fijo trata de un espacio métrico completo:

Teorema: Vamos a $X$ ser un conjunto arbitrario. Deje $f:X\to X$ ser una función con punto fijo $x$ tal que para todos los positivos números naturales $n$, y para todos los $y\neq x$,$f^n(y)\neq y$. Entonces existe una completa métrica $d$ $X$ tal que $f$ es un estricto contracción.

El teorema es originalmente por C. Bessaga y no es tan fácil de probar. Un período relativamente corto de prueba se puede encontrar aquí.