Pude demostrar que $x^4-4x^2+16$ es el polinomio mínimo de $\sqrt3 + i$ en $\mathbb{Q}$ .
¿Implica esto que también es el polinomio mininal sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ ?
Entonces, sobre $\mathbb{C}$ debe ser $x + (-\sqrt3-i)$ ¿verdad?
Respuestas
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Así que $(1 / (2*\sqrt3))*x^2 - x + (-(1/\sqrt3)+\sqrt3)$ debe ser entonces el polinomio mínimo sobre $\mathbb{R}$ ¿verdad?
Maffred
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843
No. Cada polinomio en $\mathbb R[X]$ se puede factorizar en factores lineales y factores cuadráticos dependiendo de cuántas raíces son reales y cuántas no, por lo que el polinomio mínimo tiene grado como máximo $2$ . En este caso es de grado 2, es decir $(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})$ . Obsérvese que cuando existe una solución real $\beta$ se puede calcular $(x-\beta)$ y repetir, cuando hay una raíz no real $\gamma$ es decir, $p(\gamma)=0$ puedes ver que $p(\overline{\gamma})=\overline{p(\gamma)}=0$ también, por lo que se puede factorizar $(x-\gamma)(x-\overline{\gamma})$ que está, por supuesto, en $\mathbb R[X]$ .
Todo polinomio en $\mathbb C[X]$ puede ser factorizado en factores lineales porque cada polinomio de grado al menos $1$ tiene una solución a través del Teorema del Álgebra Fundamental. Así, el polinomio mínimo tiene grado $1$ , es decir $(x- \alpha) \in \mathbb C[X]$ .
Mustafa
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82
Dejar $x=\sqrt3+i\Rightarrow x-\sqrt3=i\Rightarrow (x-\sqrt3)^2=-1\Rightarrow x^2-2\sqrt3 x+4=0$ entonces el polinomio mínimo de $\sqrt3+i$ en $\mathbb R[x]$ es $x^2-2\sqrt3 x+4=0$
Mientras que $\sqrt3+i \in \mathbb C$ entonces el polinomio mínimo de $\sqrt3+i$ en $\mathbb C[x]$ es $x-(\sqrt3 +i)=0$
