Algunas preguntas sobre el cierre del conjunto / cierre de Kuratowski.

Question

Aquí está la página que me confunde: Página 25 de Topología General (Willard)

Definición 3.5 Si $X$ es un espacio topológico, y $E\subset X$, el cierre de $E$ $X$ es el conjunto $$\overline{E} = \mathrm{Cl}(E) = \bigcap \{K\subset X\mid K\text{ is closed and }E\subset K\}.$$

[...]

Lema 3.6 Si $A\subset B$,$\overline{A}\subset \overline{B}$.

[...]

Teorema 3.7 La operación $A\mapsto \overline{A}$ en un espacio topológico tiene las siguientes propiedades:

K-a) $E\subset \overline{E}$

K-b) $\overline{(\overline{E})}=\overline{E}$

K-c) $\overline{A\cup B} =\overline{A}\cup\overline{B}$

K-d) $\overline{\varnothing} = \varnothing$

K-e) $E$ es cerrado en $X$ fib $\overline{E}=E$.

Por otra parte, dado un conjunto $X$ y un mapeo $A\mapsto \overline{A}$ $\mathscr{P}(X)$ a $\mathscr{P}(X)$ satisfactorio K-a través de un K-d, si definimos los conjuntos cerrados con los K-e, el resultado es una topología en $X$ cuyo cierre operador es sólo la operación $A\mapsto\overline{A}$ comenzamos con.

Todo estaba bien hasta esta página, y de repente estoy muy confundido. Definición 3.5 define lo que es un cierre, y el lema 3.6 se desprende directamente de esta definición y es, me parece, casi evidente por sí mismo... y entonces el Teorema 3.7 sucede y no tengo idea de qué está pasando.

En la segunda-a último párrafo, Willard implica que, en la colección F de todos los conjuntos $\bar{A}=A$, $A \subset B \implies \bar{A} \subset \bar{B}$ ¿ no se sigue directamente del lema 3.6.

Vamos a proceder ahora a la segunda parte del teorema. Deje $X$ ser cualquier conjunto y $A\to \overline{A}$ una asignación de $\mathscr{P}(X)$ a $\mathscr{P}(X)$ satisfactorio K-a través de un K-d. Deje $\mathscr{F}$ ser la colección de todos los conjuntos de $A$ tal que $A=\overline{A}$. La afirmación es que el $\mathscr{F}$ satisface F-a través de F_c del Teorema 3.4.

En primer lugar observamos que si $A\subset B$, entonces por K-c, $\overline{B}=\overline{A}\cup\overline{B-A}$, por lo que el $\overline{A}\subset \overline{B}$ (¿por qué no se refieren a Lema 3.5?)

¿No siga aún más claramente? No es válido: $ \bar{A} (= A) \subset \bar{B} (= B) \implies Lemma \; 3.6$

De hecho, estoy teniendo problemas para entender la importancia de este Kuratowski cierre de la operación en conjunto... no K-a K-e todo siga de *Definición de 3.5?

Creo que voy a necesitar un más extenso artículo sobre este tema, porque no entiendo bien el significado del material en esta página.

Answer 1

Hay dos partes en el Teorema 3.7.

La primera parte dice: si usted ya tiene un espacio topológico $X$, y se definen $\overline{A}$ según la Definición de 3.5, entonces la operación $A\mapsto \overline{A}$ va a satisfacer la condición de K-a través de un K-e.

La segunda parte del Teorema 3.7 dice: suponga que tiene un conjunto (no topológico, espacio, sólo un conjunto), junto con una función de$\mathscr{P}(X)$$\mathscr{P}(X)$, que se denota por a $A\mapsto\overline{A}$ que sólo pasa a satisfacer las condiciones de K-a través de K-d. A continuación, puede utilizar esta función para definir una topología en $X$ diciendo "$A$ es cerrado en $X$ si y sólo si $A=\overline{A}$."

Ahora, si usted hace esto, usted comenzó con una función de $A\mapsto\overline{A}$; ahora tiene un espacio topológico. Desde ahora usted tiene un espacio topológico, se puede utilizar la Definición de 3.5 a definir un cierre de operador en este espacio topológico, por $$\mathrm{Cl}(A) = \bigcap \{ K\subset X\mid K\text{ is closed and }A\subset K\}.$$ Si usted hace esto, ¿cuál es la relación entre el$\overline{A}$$\mathrm{Cl}(A)$? La respuesta, dada en el último párrafo, es que si este proceso de dos pasos, entonces la función de $\mathrm{Cl}(A)$ acaba de ser exactamente $\overline{A}$. Es decir, la función que se obtiene a partir de su mapa original, entonces la construcción de la topología, y, a continuación, utilizando la topología para darle un cierre operador es exactamente la función que comenzó.

La razón por la que no pueden invocar el Lema 3.6 en ese párrafo es que el párrafo está teniendo lugar en el contexto de la segunda parte del teorema. Es decir, usted no tiene una topología y usted no tiene el cierre operador definido por la topología; sólo tienes alguna función de $\mathscr{P}(X)$ $\mathscr{P}(X)$que sucede satisfacer las condiciones de K-a través de K-d; Lema 3.6 se acerca el cierre operador puede definir una vez que se tiene una topología, pero ya que usted no tiene una topología de aquí, sin embargo, usted no puede utilizar.