Muestran que

Question

Muestre que$\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$ y encuentre todo$w\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$ tal que$\mathbb{Q}(w)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$.

Está claro que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$. Pero dado cualquier$x\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$, ¿cómo muestro ese$x\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$? Para la segunda pregunta, ¿es$w$ los asociados de$\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}$? ¿Cómo lo muestro? ¡Gracias!

Answer 1

Desde $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$, es suficiente para mostrar que $[\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}] = 6$. El Galois cierre de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$$N = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5},i)$. Hay $12$ elementos del grupo de Galois $\textrm{Gal}(N/\mathbb{Q})$. Vamos a mostrar que el subgrupo $H$ que corrige $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5})$ orden $2$, por lo tanto $[\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}] = 6$.

Deje $\sqrt{2} + \sqrt[3]{5} = \alpha$ y deje $\sigma \in \textrm{Gal}(N/\mathbb{Q})$ tal que $\sigma$ corrige $\alpha$. Ahora el conjugado de a $\sqrt{2}$ es real y los dos conjugados de $\sqrt[3]{5}$ son tanto nonreal. De ello se desprende que $\sigma$ debe arreglar $\sqrt[3]{5}$. A continuación, $\sigma$ también corrige $\sqrt{2} = \alpha - \sqrt[3]{5}$. Las únicas posibilidades son lo $\sigma$ es la identidad o $\sigma$ corrige $\sqrt{2},\sqrt[3]{5}$$\sigma(i) = -i$, por lo tanto $\vert H \vert = 2$.

Answer 2

De la OMI, la teoría de Galois es el camino a seguir aquí, pero quiero dar una idea de cómo hacer esto de un modo elemental. La idea clave a continuación es la cuadratura debe "eliminar" algunas de las $\sqrt{2}$, pero no realmente deshacerse de cualquiera de las $\sqrt[3]{5}$ (voy a utilizar $\alpha=\sqrt[3]{5}$ para el resto de esta respuesta).

Si nos cuadrado de $\sqrt{2}+\alpha$, y deseche cualquier enteros, nos quedamos con $2\sqrt{2}\alpha+\alpha^2$. El cuadrado de los rendimientos de este $$ 8\alpha^2+20\sqrt{2}+5\alpha$$

y podemos restar de ese $20(\sqrt{2}+\alpha)$ a quedar con $$ 8\alpha^2-15\alpha $$

Cuadrando una vez más los rendimientos (después de quitar el justo medio plazo) $$ 320\alpha + 225\alpha^2$$

y una combinación lineal de las dos anteriores expresiones fácilmente rendimientos (después de una posible división racional) $\alpha$.

Así, hemos demostrado que $\sqrt[3]{5}=\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\alpha)$, y por supuesto, lo hace $\sqrt{2} = (\sqrt{2}+\alpha)-\alpha$. En otras palabras, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})$.

Answer 3

Deje$x \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5})= \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt[3]{5})\Rightarrow x = y+z\sqrt[3]{5}$, y$y, z \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\Rightarrow y = a+b\sqrt{2}, z = c+ d\sqrt{2}$, y$a, b,c,d \in \mathbb{Q}$. ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 4

También puede calcular$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}]$ y$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}]$. Si tienen el mismo índice sobre$\mathbb{Q}$ y uno está contenido en el otro, deben ser iguales. Para la parte sectond, puedes usar un argumento similar, creo.

Answer 5

Sugerencia: $[Q(\sqrt2,\sqrt[3]5):Q]=6$, $[Q(\sqrt2,\sqrt[3]5):Q]=[Q(\sqrt2,\sqrt[3]5):Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)][Q(\sqrt2+\sqrt[3]5):Q]$. Esto implica que $[Q(\sqrt2+\sqrt[3]5):Q]=1,2,3$ o 6.

$[Q(\sqrt2+\sqrt[3]5):Q]$ puede no ser $1$ desde $u=\sqrt2+\sqrt[3]5$ no $Q$ no puede ser 2, ya que para cada $q\in Q$, $(u-q)^2$ no es en $Q$, La observación de que si un número satisface $X^2+2bX+c=0, b,c\in Q$ puede escribir $(X+b)^2-b^2+c=0$.

no puede ser de 3 desde $[Q(\sqrt2,\sqrt[3]5):Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)]=2$, ya que en este caso si $\sqrt[3]5$ es un elemento de $Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)$$\sqrt2$$Q(\sqrt2,\sqrt[3]5)=Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)$, lo que contradice el hecho de que $[Q(\sqrt2,\sqrt[3]5):Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)]=2$, lo $\sqrt[3]5$ no es un elemento de $Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)$ y es el cero de $X^3-5$, el mínimo polinomio $P$ $\sqrt[3]5$ $Q(\sqrt2+\sqrt[3]5)$ divide $X^3-5$. Esto es imposible, ya que las raíces de $P$ debe $\sqrt[3]5$ y un complejo de raíz de $X^3-5$, lo $P$ debe tener un complejo de coeficiente.