Convergencia de secuencia de Cauchy probar o dar contraejemplo

Question

Demostrar o dar un contraejemplo: si una secuencia de números reales $\{x_n\}$ a partir de $n=1$ $\infty$tiene la propiedad de que para todos los $\epsilon >0$ existe $N \in \mathbb N$ tal que para todos los $n \ge N$ tenemos $|x_{n+1} - x_n| < \epsilon$, $\{x_n\}$ es una secuencia convergente. Cómo es esto diferente de la definición de Cauchy secuencia?

Intento: Para la segunda parte del problema, sé que es diferente de la definición de una secuencia de Cauchy como se trata de tomar la siguiente parte de la secuencia y restar de la parte actual de la secuencia.

Para la primera parte, no estoy seguro de cómo ir sobre hacer esto; al principio, pensé que podría hacer algo como $|x_{n+1} - x_n| < \epsilon/2$, en, a continuación, utilizar la desigualdad de triángulo. Pero no estoy seguro de que podemos hacerlo. Opiniones y comentarios?

Y disculpas de antemano por la falta de formato.

Answer 1

Sugerencia

Probar la secuencia de números armónicos $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$ y ver si converge.

Answer 2

Tenga en cuenta que, un ${x_n}$ de la secuencia es Cauchy si

$$ \lim{n \to \infty} |x{n+p}-x_n| = 0 \quad \forall p\geq 1. $$

Ahora, como un ejemplo de tu caso, prueba $x_n=\ln(n)$.

Answer 3

Sugerencia:

En general, cada una secuencia de Cauchy es $\mathbb{R}$ es convergente. (Tres Pasos)

1. Probar que cada secuencia de Cauchy es acotada.
2. El uso de los teoremas de Bolzano-Weierstrass Teorema a la conclusión de que debe tener una convergente larga.
3. Muestran que una secuencia de Cauchy tener un convergentes larga debe ser convergente.

( Bolzano-Weierstrass Teorema establece que cada secuencia delimitada en $\mathbb{R}$ tiene un convergentes larga.)

Tenga en cuenta que la secuencia dada en su pregunta es un caso especial de una secuencia de Cauchy.

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Para aclarar los otros supuestos:

(1) serie Armónica NO es de Cauchy.

Recordemos definición: $\forall \varepsilon >0, \exists N \in\mathbb{N}$ tal que $\forall m,n>N,|a_n-a_m|<\varepsilon $

Elija $m=2N$$n=N$. A continuación, $$\left | \sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i} - \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \right |=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i} - \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = \sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i} = \frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} < \frac{1}{n} +\frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n} = n \left (\frac{1}{n} \right )=1 (=\varepsilon ) $$

Pero, recuerde que $\varepsilon >0$ es elegido arbitrariamente. Así que la serie armónica no es de Cauchy.

(2) Si $a_n$ es de Cauchy, entonces $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n) = 0$. El recíproco NO es cierto.

Contraejemplo de lo contrario:

Tome $a_n=\sqrt{n}$.

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 0$, pero $(\sqrt{n})_{n\in\mathbb{n}}$ no es de Cauchy.