¿Lo que ' s el punto de un cobasis?

Question

He estado aprendiendo acerca de los análisis tensorial, y las cosas han ido bien hasta ahora, pero estoy un poco atascado cuando se trata de la idea de un cobasis (por que me refiero a la base de la reciprocidad; no está seguro de cuál es el término más común). Vectores de la base son bastante simples, es sólo un traspaso de espacios vectoriales en álgebra lineal. Cobasis vectores, por otro lado, no parecen muy motivado para mí. Entiendo que son de doble a de los vectores de la base, ¿pero por qué los necesitamos? Cuándo se deben usar más de la normal vectores de la base?

Estoy familiarizado con el tratamiento de vectores como elementos de un espacio de la tangente de un colector y vectores duales como lineal de los operadores sobre los vectores, si ese es el tipo de explicación que motiva la cobasis de manera más efectiva, aunque no tengo una buena intuición con ese tipo de cosas todavía.

Answer 1

Creo que tal vez usted se esté preguntando por qué necesitamos covectors a todos. Una vez que usted acepta que necesitamos covectors, tiene sentido tener cobases para su covectors al igual que usted tiene bases para sus vectores.

Ok, así que ¿por qué necesitamos covectors. Voy a dar una aplicación---tomando un derivado. A menudo en la geometría diferencial usted quiere tomar un derivado. Supongamos por ejemplo que tenemos una función definida en su colector. ¿Qué tipo de objeto es la derivada? Así que usted debe darle un vector tangente a la multiplicidad y le da un número diciendo que la rapidez de los cambios en la función cuando se mueve a la velocidad dada por vector tangente. Esta relación entre el vector tangente y la tasa de cambio del valor de la función debe ser lineal. Por lo tanto, debe ser que la derivada de una función es un covector campo.