¿Es una función analítica determinada por sus valores en un enrejado?

Question

Supongamos que conocemos los valores de una función analítica compleja $f$ % todo $x+iy$, $x,y\in\mathbb{Z}$. ¿Únicamente podemos determinar $f$?

¿Más generalmente, existen ejemplos de conjuntos densos en ninguna parte $E$s.t. $f\mid_E$ $f$ se determina?

Answer 1

Que No a su primera pregunta. La factorización de Weierstrass teorema afirma que para cualquier secuencia $\{a_n\}$ distinto de cero de los números complejos con $|a_n| \to \infty$, no es un trivial de la analítica de la función $f$ cuya puesta a cero es, precisamente,$\{a_n\}$. Claramente podemos enumerar todos los distinto de cero puntos $a_n$ del entero entramado de tal manera que $|a_n| \to \infty$, por lo que hay un trivial analítico $f$ fuga en todos esos puntos. A continuación, la función de $z f(z)$ no es la función cero, pero se desvanece en todos esos puntos y 0 así.

Sí a la segunda pregunta. Los ceros de un trivial de la analítica de la función debe ser aislado. Así que tome $E$ ninguna ninguna parte denso conjunto que tiene un punto límite (por ejemplo, el conjunto de $\{1/n : n = 1, 2, \dots\} \cup \{0\}$). Si $f,g$ son funciones analíticas que están de acuerdo en $E$, $f-g$ es una analítica de la función cuya puesta a cero tiene un punto límite, por lo tanto $f-g=0$.