¿Cómo describir los magmas libres en términos estructuralistas más?

Question

Dado un grupo electrógeno $G$ (supone para simplicitly se compone enteramente de urelements), la libre magma $G$ puede ser descrito de la manera más concreta de la siguiente manera.

• Su conjunto subyacente es el menos $U \supseteq G$ cerrada bajo la formación de pares ordenados; lo que significa que si $x,y \in U$,$(x,y) \in U$.

• La ley de la composición está dada por $xy = (x,y)$.

Ahora, esta es una muy materialista manera de hablar. Hay una manera de proceder a la refundición de la descripción anterior, para ser más estructuralista en el sabor? Por ejemplo, me gustaría que la descripción para ir a través de ETCS.

Answer 1

Deje $(\mathcal{C},\otimes)$ ser una categoría monoidal con contables de co-productos (denotado por $\coprod$), de tal manera que cada endofunctor $X \otimes -$ $- \otimes X$ conserva contables de co-productos. Por ejemplo, podría ser un cartesiana cerrada cocomplete categoría, tales como: $\mathsf{Set}$ ($\otimes=\times$$\coprod = $ discontinuo de la unión), o cualquier modelo de ETCS. Recordemos que un magma en $\mathcal{C}$ es un objeto $M$ equipada con un morfismos $M \otimes M \to M$. Estos constituyen una categoría $\mathsf{Mag}(\mathcal{C})$. Hay un olvidadizo functor $\mathsf{Mag}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$. Me dicen que tiene un adjunto a la izquierda, por lo tanto la asignación de $X \in \mathcal{C}$ a la libre magma $F(X)$$X$.

Definimos el objeto subyacente a ser $F(X) := \coprod_{n \geq 1} F_n(X)$ donde $F_n(X)$ está definida recursivamente por $F_1(X)=X$$F_n(X) = \coprod_{p+q=n} F_p(X) \otimes F_q(Y)$. Esta simple definición crea todas las posibles tensor de soportes de $X$: Por ejemplo,

$\begin{align} F_2(X) = & X \otimes X \\ F_3(X) = & X \otimes (X \otimes X) ~\sqcup~ (X \otimes X) \otimes X \\ F_4(X) = & X \otimes (X \otimes (X \otimes X)) ~\sqcup~ X \otimes ((X \otimes X) \otimes X) ~\sqcup~ (X \otimes X) \otimes (X \otimes X)\\ & \sqcup ~(X \otimes (X \otimes X)) \otimes X ~\sqcup ~ ((X \otimes X) \otimes X) \otimes X. \end{align}$

Hemos canónica de morfismos $F_n(X) \otimes F_m(X) \to F_{n+m}(X)$. Estos inducir una de morfismos $F(X) \otimes F(X) = \coprod_{n,m \geq 1} F_n(X) \otimes F_m(X) \to F(X)$. De esta manera $F(X)$ se convierte en un magma. Tenemos la inclusión de $X=F_1(X) \to F(X)$.

Ahora vamos a demostrar lo universal de la propiedad. Deje $(M,m : M \otimes M \to M)$ ser cualquier magma y $h : X \to M$ ser una de morfismos. Definir $h_n : F_n(X) \to M$ $h_1=h$ por inducción en $n$: ampliamos $F_p(X) \otimes F_q(X) \xrightarrow{h_p \otimes h_q} M \otimes M \xrightarrow{m} M$ a la suma directa de $h_n : F_n(X) \to M$. Estos inducir una de morfismos $h : F(X) \to M$, que en realidad es una de morfismos de los magmas por la construcción, y evidentemente el único que se extiende $h$.

Casi todos los de la construcción de álgebra básica, puede llevarse a cabo en cualquier cocomplete (simétrica) categoría monoidal.