Suma ponderada de Dirichlets es Dirichlet

Question

Estoy estudiando Sethuraman del papel en el proceso de Dirichlet y tener dificultad para mostrar un lexema. Él dice: Vamos a $\boldsymbol\gamma=(\gamma_1,...\gamma_k)$ $\gamma=\sum_j \gamma_j$ y dejar $\beta_j=\frac{\gamma_j}{\gamma}$, $j=1,2,...,k$. A continuación, $\sum_j \beta_j\mathcal{D}_{\boldsymbol\gamma+e_j}=\mathcal{D}_{\boldsymbol\gamma}$

En este lema $\mathcal{D}_{\boldsymbol\gamma}$ es la distribución Dirichlet con $\boldsymbol\gamma$ como los parámetros y $e_j$ es un vector de ceros (0) con un 1 en el jth posición.

Sethuraman dice que las pruebas de este lema se encuentran en muchos de los libros de texto, incluyendo Wilks (1962).

Estoy tratando de probar este lema. Yo no la he encontrado en los libros de texto y no puede encontrar una copia de la Wilks libro.

Lo he probado de muchas maneras. En particular, expresando el Dirichlets como gammas y para k=2.

Answer 1

Mira las densidades. En virtud de la definición de la distribución Dirichlet, en el lado derecho de la densidad (en las variables de $\mathbf x = (x_1,x_2,\ldots,x_k)$$x_1+x_2+\cdots+x_k=1$) es proporcional a la

$$F_\gamma(\mathbf x) = \frac{x_1^{\gamma_1-1}\cdots x_k^{\gamma_k-1}}{\Gamma(\gamma_1)\cdots\Gamma(\gamma_k)}.$$

En el lado izquierdo, debido a $\Gamma(\gamma_j+1)=\gamma_j\Gamma(\gamma_j),$ la densidad de plazo $j$ es proporcional a

$$\gamma_j\frac{x_1^{\gamma_1-1}\cdots x_k^{\gamma_k-1}}{\Gamma(\gamma_1)\cdots\Gamma(\gamma_k)}\frac{x_j}{\gamma_j} = x_jF_\gamma(\mathbf x ).$$

(La inicial $\gamma_j$ proviene del coeficiente de $\beta_j$ en la combinación lineal -- ignorar el factor común de $1/\gamma$ -, mientras que el final de la $\gamma_j$ en el denominador proviene de la anterior $\Gamma$ de identidad.)

Sumando sobre todos los $j$, el resultado es $x_1+x_2+\cdots+x_k = 1$ veces $F_\gamma(\mathbf x).$ Debido a que ambas distribuciones son necesariamente normalizado para tener unidad integrales y son proporcionales a la misma función de $\mathbf x$, son iguales, QED.