Número esperado de morir rollos para obtener 6 dado que todos los rollos son incluso.

Question

Una feria de 6 caras se rueda el dado repetidamente en hasta un 6 se obtiene. Encuentre el número esperado de rollos acondicionado, en el caso de que ninguno de los rollos dado un número impar

Yo había tratado de averiguar cuál será la distribución condicional de $\frac{X}{Y}$ pero no puedo resuelto todavía Donde $X $ es el rostro marcado con el número 6, se obtiene y se $Y$ es el evento solo número se produjo

Answer 1

Llame a $E_k$ el evento "la primera $k-1$ lanza ni siquiera dieron los resultados", y llamar a $E$ el evento "la primera $6$ existe y es precedido por un número par".

Voy a omitir la inteligente respuesta de Mike Serio link y tratar de dar una comprensible erudito.

La definición de una esperanza condicional es $$\Bbb E(X|E)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\Bbb P(X=k\ |\ E)$$

Ahora $$\Bbb P(X=k\ |\ E)=\frac{\Bbb P((X=k)\cap E)}{\Bbb P(E)}$$ Tenga en cuenta que el evento $(X=k)\cap E$ es igual para el caso de $(X=k)\cap E_k$. $$\Bbb P((X=k)\cap E_k)=\left(\frac26\right)^{k-1}\cdot \frac16$$ como usted tiene que obtener de forma independiente $2$s o $4$s en cada una de las $k-1$ lanza primero y, a continuación, obtener un $6$.

Por otro lado, \begin{align*}\Bbb P(E)&=\sum_{k=1}^\infty \Bbb P(E\cap(X=k))\\&=\sum_{k=1}^\infty \left(\frac26\right)^{k-1}\cdot \frac16\\&=\frac16\cdot \frac{1}{1-\frac26}\\&=\frac14\end{align*}

Poniendo todo junto: \begin{align*}\Bbb E(X|E)&=\sum_{k=1}^\infty k\cdot4\cdot \left(\frac26\right)^{k-1}\cdot \frac16\\&= \frac46 f'\left(\frac26\right)\\\end{align*} donde $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac 1{1-x}\qquad\text{and}\qquad f'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\frac 1{(1-x)^2}$$

Finalmente, $$\Bbb E(X|E)=\frac23\cdot \frac1{\left(1-\frac26\right)^2}=\frac32.$$

Answer 2

Estamos lanzando un dado hasta la obtención de ni $2$ ni $4$. El número esperado de lanzamientos, a continuación, se ${3\over2}$, por las fórmulas para una variable aleatoria geométrica. Si el cierre de tiro $1$, $3$, o $5$, no contamos el experimento y comenzar de nuevo. Si el cierre de tiro es un seis es un éxito.