Convergencia puntual resistente al promediado

Question

¿Puede dar un ejemplo de una secuencia de funciones continuas $f_n:[0,1]\to [0,1]$ tal que $f_n\to 0$ puntualmente y no existe una subsecuencia $(f_{n_k})$ para lo cual $\frac 1 m\sum_{k=1}^{m}f_{n_k}$ tiende uniformemente a cero?

Creo que es lo mismo que preguntar si el espacio de Banach de las funciones continuas de valor real tiene la "propiedad débil de Banach-Saks", pero no he podido encontrar la respuesta.

Answer 1

Que $C[0,1]$ falla la propiedad débil de Banach Saks aparece como problema 17 en el capítulo VII de la obra de Joseph Diestel Secuencias y series en espacios de Banach .

El problema ofrece un esquema:

1) Para $k$ un número entero positivo fijo, construya una secuencia no negativa $(g_n^k)_n$ en $B(C[0,1])$ satisfactoria:

• $g_n^k(t)=0$ si $t\notin ((k-1)/k, k/(k+1))$ .
• $(g_n^k)$ converge puntualmente a 0 en $[0,1]$ .
• Si $n_1<n_2<\cdots<n_k$ entonces existe un $a\in[0,1]$ con $g_{n_1}^k(a)=g_{n_2}^k(a)=\cdots=g_{n_k}^k(a)=1$ .

2) Definir $f_n=g_n^1+g_n^2+\cdots+g_n^n$ . Demuéstralo:

• $(f_n)$ es débilmente nulo en $C[0,1]$ (lo que equivale a decir $(f_n)$ converge puntualmente a 0 y está acotada).
• Si $n_1<n_2<\cdots<n_m<n_{m+1}<\cdots< n_{2m}$ entonces $(f_{n_1}+\cdots f_{n_{2m}})(t)\ge {1\over 2}$ para todos $t\in[0,1]$ (Creo que Diestel tiene una errata aquí, debería ser $\ge m/2$ para algunos $t\in[0,1]$ ).

Esto fue demostrado por primera vez por J. Schreier en Un contraejemplo a la teoría de la convergencia débil , Studia Math. 2 (1930), 58-62. H. P. Rosenthal en el volumen 2 de Manual de geometría de los espacios de Banach (proposición 4.21, página 1585) también puede ser útil.