Lineal mapa de $f(x^n)=nf(x)$.

Question

Quiero encontrar a una lineal mapa de $f$ con la propiedad $f(x^n)=nf(x)$.

Supongamos que tenemos la recurrencia $x_n+\frac{1}{x_n}=x_{n+1}$$x_1=a$. Si un mapa existe, a continuación,$0=f(x_{n+1})$. Por lo $f$ alcanza raíces en $x_2,x_3,....$.

Qué $\{x_2,x_3,....\}$ cuenta para todos los números reales, si se nos permite variar $a \in \mathbb{R}$?

Answer 1

Deje $x_0\neq 0$ ser un número para que $f(x_0)=0$. Entonces para cualquier $c\in \Bbb R$,$f(cx_0)=cf(x_0)=0$.

Answer 2

tenemos $f(1^n)=nf(1)$ para todos los positivos $n$, lo $f(1)=0$. También tenemos $0=f((-1)^2)=2f(-1)$$f(-1)=0$.

Ya que la función es lineal y tiene dos raíces tenemos $f(x)=0$ todos los $x$.