¿Cuándo enteros positivos $0<q_1<k_1$ $0<q_2<k_2$ existe tal que $q_1k_1+q_2k_2=k_1k_2$?

Question

Deje $k_1$ $k_2$ ser enteros positivos. ¿Cuándo enteros positivos $0<q_1<k_1$ $0<q_2<k_2$ existe tal que $q_1k_1+q_2k_2=k_1k_2$?
Creo que estas existen, precisamente, cuando mcd$(k_1,k_2) \neq 1$. Es esto correcto? ¿Alguien tiene una prueba? Ejemplos: para $k_1=3, k_2=6$, uno ha $4 \cdot 3 + 1 \cdot 6 = 18 $$2 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 18 $. Sin embargo, para $k_1=2$, $k_2=3$, esto no parece suceder.

Answer 1

Tu suposición es correcta.

En primer lugar, nos muestran que es una condición necesaria:

Suponga $GCD(k_1,k_2)=1$. Si usted echa un vistazo a su ecuación, obtenemos $k_2|q_1, k_1|q_2$ (żpor qué?).

Desde $q$ no puede ser $0$, esto nos deja con $q_1k_1+q_2k_2\geq k_1k_2+k_2k_1=2k_1k_2>k_1k_2$.

Ahora, para demostrar que nuestra condición es suficiente, podemos decir $k_1=l_1d, k_2=l_2d$ donde $GCD(l_1,l_2)=1$.

Ahora la ecuación escribe $d(q_1l_1+q_2l_2)=d^2l_1l_2 \Leftrightarrow q_1l_1+q_2l_2=dl_1l_2$.

Si decimos $q_1=l_2r_1, q_2=l_1r_2$, poniendo eso en que nos deja con $r_1+r_2=d$, que puede ser cumplida por $d>0$ y nos deja con una solución.

Answer 2

Estoy asumiendo que las condiciones eran $0\lt q_1\lt k_1$$0\lt q_2\lt k_2$$q_2k_1+q_1k_2=k_1k_2$. De lo contrario, no es un contraejemplo.

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Si $(k_1,k_2)=d$$d\gt1$, entonces para cada a $0\lt j\lt d$, tenemos las soluciones $$ k_1k_2=\frac{jk_2}{d}k_1+\frac{(d-j)k_1}{d}k_2\etiqueta{1} $$ donde$0\lt\frac{jk_2}{d}\lt k_2$$0\lt\frac{(d-j)k_1}{d}\lt k_1$.

Supongamos que $a_1k_1+a_2k_2=1$ y de que tenemos una solución $$ k_1k_2=q_2k_1+q_1k_2\etiqueta{2} $$ donde$0\lt q_1\lt k_1$$0\lt q_2\lt k_2$. Entonces $$ \begin{align} (k_2-q_2)k_1&=q_1k_2\\ a_2(k_2-q_2)k_1&=q_1(1-a_1k_1)\\ \left[a_2(k_2-q_2)+a_1q_1\right]k_1&=q_1\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, $k_1\mid q_1$ lo cual no es posible si $0\lt q_1\lt k_1$.

Answer 3

$$ (k_1-q_2)(k_2-q_1) = k_1k_2-k_1q_1-k_2q_2 +q_1q_2=q_1q_2 $$