cuando se puede estimar la curvatura de finito información acerca de dos geodesics?

Question

Deje $c_v, c_w$ dos geodesics partir de un punto de $p\in M$, donde M es un nonpositively curva, completa, suave de Riemann colector. Decir $c_v(\varepsilon) = \exp_p(\varepsilon v)$ $c_w(\varepsilon) = \exp_p(\varepsilon w)$ para algunos vectores tangente $v,w\in T_p(M)$. Edit 3: Con los contraejemplos en las respuestas de la mente, debemos asumir la geodesics se necesita para formar un triángulo $\triangle(p, c_v(1),c_w(1))$ cuyas longitudes de los lados son dentro de algunos (distinto de cero) límites inferior y superior.

Deje $L(\varepsilon)=\mathrm{dist}(c_v(\varepsilon),c_w(\varepsilon)$) de la distancia entre puntos correspondientes a $\varepsilon$ en el geodesics.

Uno puede usar el valor no positivo de curvatura para obtener la convexidad de $L$ y demostrar que si $L(\varepsilon)$ parece lineal en un punto cualquiera, es decir,$L(\varepsilon_0) = \varepsilon_0 L(1)$, de hecho, esto es cierto para todos los $\varepsilon$, no sólo a $\varepsilon_0$. En consecuencia, la curvatura de la $v,w$ plano en$p$$0$.

Hace un aproximado de versión de esta retención? Es decir, si sabemos algo de $\varepsilon_0$ $L(\varepsilon_0)$ "cerca" $\varepsilon_0 L(1)$, ¿esto significa que la curvatura seccional de la $u,v$ plano en $p$ está "cerca" $0$?

Esto parece intuitivo, al menos si hay algún tipo de homogeneidad o un montón de simetría, pero no estoy muy familiarizado con la curvatura, y parece que no puede armar una justificación formal de este.

Si alguien sabe y puede explicar esto, o tiene una buena referencia para ver que describe esta función $L$ en detalle, se lo agradecería. Esto parece como algo que debe ser conocido o fácil para alguien en la zona. He estado tratando de aprender este material, y he visto un par de referencias hablando geodésica y variaciones de la $L$ cerca de $0$, pero no estoy seguro de si estoy llegando a ningún lado. Por supuesto, si no es cierto, me gustaría saber por qué, o si es cierto que en un poco mejor los espacios.

Gracias!

Edición A tratar de comentar más sobre cómo creo un argumento podría ir así:

Mi conjetura es que la curvatura como usted se mueve a lo largo de la geodesics es nonincreasing, por lo que la cantidad de convexidad (es decir, 2ª derivada) de $L(\varepsilon)$ es no decreciente. Esto, junto con la convexidad de $L$ proporciona algunos límites en $L$$(0,\varepsilon_0)$. Específicamente, debe ser debajo de la línea a través de $(0,0)$ $(\varepsilon_0, L(\varepsilon_0))$ a fin de ser convexa en todo, y por encima de la cuadrática a través de $(0,0)$, $(\varepsilon_0, L(\varepsilon_0))$, y $(1,L(1))$ con el fin de satisfacer la 2ª derivada requisito. Este parece controlar el ángulo de Riemann y la curvatura en $p$.

En qué espacios sabemos que la curvatura es nonincreasing y que argumento tiene algún sentido?

Edit 2 La única respuesta a continuación muestra que esto no va a funcionar tan general, como originalmente se discutió este problema. Por lo tanto, estoy interesada en cuando sí. Estoy particularmente interesado en la simétrica de los espacios, y mi intuición es todavía firmemente que esto debe ser así en ese ambiente.

Answer 1

No, usted no debe esperar una estimación. La suposición de que $L(\epsilon_0)\approx \epsilon_0 L(1)$ puede ser interpretado en el sentido de que en la escala de $\epsilon_0$ y el más grande, el espacio se ve plana, en promedio. No control de la curvatura de la pointwise; en particular, puede tener muy curvatura negativa en una escala $\delta\ll \epsilon_0$$p$.

Ejemplo. Considere la posibilidad de métricas de la forma $ds^2= e^{2u} (dx^2+dy^2)$. La curvatura es de valor no positivo si y sólo si $\Delta u\ge 0$. Elija $u$ radialmente simétrica, es decir, $u =u(r)$ donde $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Específicamente, $$u(r)=\begin{cases} \ln \delta+\dfrac{r^2-\delta^2}{2\delta^2} ,\quad & 0<r\le \delta \\ \ln r ,\quad & r\ge \delta \end{casos}$$ Es fácil ver que $ru'$ está aumentando, por lo tanto $u$ es subarmónicos y la superficie es nonpositively curva. (Técnicamente, la curvatura es discontinua en a $r=\delta$, que puede ser fijado por la cocina hasta el más complicado de los subarmónicos función que coincide con el logaritmo en $u=\delta$ con su mayor derivados a $\delta$.) Desde $u$ es radialmente simétrica, geodesics comenzando en el origen de las líneas.

La curvatura es cero para $r>\delta$; de hecho, esta parte de la superficie puede ser asignada por $z\mapsto z^2/2$ (en el complejo de la notación) isométricamente en el espacio anular $\{\delta^2/2< r< \infty\}$ cubierto dos veces. En particular, $L(\epsilon)$ es una función afín de $\epsilon$ no, por lo tanto asintótica lineal a gran escala.

Pero cerca de $0$, la curvatura es enormemente negativo, debido a $\Delta u = 2r/\delta^2$. Otra forma de ver esto es observar que el perímetro de la geodésica disco de radio $R$ $\approx 4\pi R$ grandes $R$ (debido a que el anillo de ser doblemente cubiertos). Por el de Gauss-Bonnet teorema dela integral de la curvatura de la superficie es igual a $-2\pi$. Lo que también es coherente con el hecho de que la superficie está hecha de un cono con un ángulo de exceso de $2\pi$ suaviza el vértice.

Answer 2

El punto de esta respuesta es para demostrar que incluso en el mejor posible de Riemann preinstalados, de aproximados linealidad de $L(\epsilon)$ no implica que la curvatura seccional $K(p, Span(u,v))$ es cercana a cero. Es decir, iniciar con su favorito nonpositively curva de Riemann colector $M$ (es decir, el plano hiperbólico, si lo desea) y un punto fijo $p\in M$ de manera tal que la curvatura seccional $K(p,\sigma)=k$ es distinto de cero para algunas plano tangente $\sigma\subset T_pM$. Supongamos por un momento que la (unidad) los vectores $u, v\in \sigma$ son iguales. A continuación, la función de $L(\epsilon)$ es idéntica a cero. Ahora, mantenga pulsado el vector $u$ y considerar la posibilidad de una secuencia de vectores unitarios $v_i\in \sigma$ convergentes a $v$. Deje $L_i(\epsilon)$ el valor del correspondiente las funciones de la distancia entre el geodesics $\exp_p({\mathbb R}_+ u), \exp_p({\mathbb R}_+ v_i)$. A continuación, para cada uno de ellos fijo $\epsilon_0>0$, para todos lo suficientemente grande $i$, la restricción de la función de $L_i$ para el intervalo de $[0,\epsilon_0]$ es cercana a cero y, por lo tanto, es aproximadamente lineal. Por otro lado, la seccional de la curvatura del plano tangente a través de $u, v_i$ es de por supuesto, sigue siendo igual a $k\ne 0$, independientemente de $i$.