¿Cuál es la mejor y más efectiva manera de ganar experiencia en el uso de la teoría de conjuntos para entender las matemáticas, cálculo, en particular?

Question

Nota: si bien esta pregunta formulada en el título es algo subjetivo, lo que yo estoy buscando como una respuesta debe ser lo suficientemente específica como para todavía tener una clara/respuesta válida(s). También, disculpas de antemano si este es un poco largo de explicar pero creo que el contexto de mi pregunta es que sea necesario para mayor claridad.

Primero permítanme dar un poco de contexto. Cuando se trata de aprender nuevas áreas de matemáticas (o en este caso, podría decirse que, más fundamental/resumen de las áreas), uno de los problemas de todos los estudiantes se enfrentan es la "visión". La adopción de nuevos conceptos y la adición de ellos a los antiguos, a menudo es difícil, ya que para ello se requiere de ver cómo las cosas se interrelacionan. Sin embargo, su típica de la educación en matemáticas generalmente deja muy preparados para ello.

En un sentido más moderno de la educación matemática enseña a los estudiantes hacia atrás. La mayor parte de las matemáticas que los estudiantes aprenden es decir de la más importante (y resumen) detalles. Detalles como el 'real' de las pruebas de ciertos teoremas de ser reemplazado con una versión corta que, mientras que la prueba de la parte del concepto que se centra en, ignora las piezas que le dan su fundación. "Las pruebas en un vacío", como yo los llamo ya que, normalmente, no te molestes en probar (a veces ni siquiera mencionar) otros conceptos que la idea principal depende.

Esto me lleva a mi problema. Tengo un lugar fuerte de la fundación en varias áreas de las matemáticas (en particular las que a menudo relevantes para la física, tales como el cálculo), pero desde que mi educación se ha centrado en los resultados de las aplicaciones en lugar de las matemáticas como un conjunto, me quedo sin el "pegamento" que une todo.

El lenguaje de la teoría de conjuntos (así como las formas básicas de la lógica) es todavía algo nuevo para mí. Mientras tengo un fuerte (suficiente) de la fundación en los conceptos básicos después de que recientemente completar una clase en la matemática discreta, tomando los conceptos (y construir sobre ellos cuando sea necesario) y la aplicación de ellos a fin de agregar a mi comprensión de cálculo, por ejemplo, es todavía difícil.

Mi pregunta es esta: ¿cuáles son algunos métodos/pet proyectos debería tratar de implementar un 'break' de este novato fase de la medida de la teoría de conjuntos? Para cerrar la brecha entre conocer las ideas básicas sobre conjuntos y las relaciones entre ellos y los conceptos de cálculo, por ejemplo? No quiero mirar una ecuación y ver una ecuación. Quiero ser capaz de verla como una entidad abstracta.

Tenga en cuenta lo que estoy buscando en una respuesta es:

• Temas específicos de investigación que muestran cómo los conjuntos y las relaciones se utilizan para construir otros otros de matemáticas
• Ir a ejemplos para mí para jugar con el fin de ver cómo la teoría de conjuntos se aplica en la práctica (por ejemplo, cómo las relaciones pueden ser utilizados para construir las operaciones básicas como la suma, o los operadores diferenciales).
• Ejemplos de una común (pero no obvio) los errores de la gente tiende a hacer que la aplicación de la teoría de conjuntos para describir conceptos comunes en otras área de matemáticas.

Answer 1

Si entiendo tu pregunta correctamente, aunque se han incorporado una crítica de cómo abstracto de la matemática que se enseña, tu pregunta es realmente acerca de cómo usted puede apuntalar su propia comprensión de lo abstracto matemáticas a través de una mejor comprensión de la teoría de conjuntos.

Yo le sugiero que aprender acerca de cómo el sistema numérico real se construye en los pasos a partir de los axiomas de Peano para los números naturales. Hay tres pasos:

2. A partir de los axiomas de Peano para los números naturales a los números enteros.
3. A partir de los enteros a los números racionales.
4. A partir de los números racionales a los números reales.

Hay una aún más profunda, paso a paso:

1. A partir de los axiomas de ZFC de la teoría de conjuntos a los axiomas de Peano para los números naturales (a través de la construcción de los números ordinales).

No recomiendo que se haga una sola fuente para todos los cuatro de estos pasos, aunque los pasos 2, 3, 4, al menos en muchos de los libros avanzados de pregrado o temprano el nivel de posgrado, con los pasos 2 y 3 con mayor probabilidad en la teoría de números libros y los pasos 3 y 4 veces más probabilidades de estar en cálculo avanzado de libros. Para el Paso 2, me gusta el cierre de dos de los capítulos del libro "Teoría de Números" de B. M. Stewart. Para el Paso 1, me gusta que las primeras secciones de Cohen slim pequeña bomba atómica de un libro "la teoría de conjuntos y la hipótesis continua".

Answer 2

En última instancia, creo que va a encontrar su tarea a ser difícil.

El problema radica en Zermelo del énfasis de Fregean los principios sobre los Cantorian principios y la posterior crítica de Zermelo por Skolem.

La matemática aplicada se basa, fundamentalmente, en Leibniz " principio de identidad de los indiscernibles como se expresa dentro de los axiomas de las métricas de los espacios. Los lógicos y los filósofos analíticos han rechazado este como un principio lógico a pesar del hecho de que este rechazo lleva a la contradicción, cuando el signo de igualdad se interpreta como mera substitutivity. Para ellos, la priniciple de identidad de los indiscernibles constituye un epistémica de arresto para los usos del signo de igualdad. Pero, ellos tienen que ver con la semántica extensional. Así, en la lógica de primer orden, el principio de identidad de los indiscernibles es llevado a constituir "una definición real". Esto es debido a que la lógica lleva a lo que se llama "existencial" importar". La objeción es la intención de admitir la posibilidad de que dos objetos distintos que tengan todas las mismas propiedades. Por lo tanto, ellos no pueden ser distinguidos el uno del otro por sus propiedades. El argumento es que una definición no puede determinar un individuo.

Si se mira con detenimiento el axioma de extensión en el estándar de textos sobre la teoría de conjuntos, usted encontrará que utiliza un condicional en lugar de un bicondicional. El condicional se pospone para el tratamiento de la identidad en la lógica de primer orden. Y, la identidad de los indiscernibles, no es parte de la cuenta estándar de la identidad de esa lógica. Uno simplemente tiene que $x = x$ significa que "x es sustituibles por x" y que $x = y$ significa que "y es sustituible por x". Lo que un matemático aplicado generalmente se entiende como una equivalencia la relación puede ser derivada a partir de estas reglas con substitutivity trucos.

Esta interpretación de la identidad en la teoría de conjuntos de la siguiente manera a partir de Skolem de la crítica. En Zermelo original de axiomas, el signo de igualdad se interpretan en relación con el singleton se establece en la teoría. Como por Zermelo enfatizando Fregean vistas sobre Cantorian puntos de vista, hay una diferencia entre "la extensión de un concepto" y "una colección tomado como un objeto". Hay mucho en el desarrollo histórico de la teoría de conjuntos que le ha dado la forma que tiene. El hecho de que el Cantor del punto de vista había sido puesto a un lado es uno de los puntos que Lawvere ha enfatizado en su desarrollo de conjuntos mediante la categoría de la teoría. En su obra, la identidad de los indiscernibles se da por sentado como una necesidad lógica de la ley. Y, dado que el Cantor de la noción de conjunto había estado estrechamente vinculado a su topológico ideas, Lawvere del programa, no debe descartarse simplemente porque los filósofos analíticos tienen diferentes prioridades de un número significativo-tal vez incluso una mayoría, de los matemáticos.

Yo sugiero que busque en Max Black en la discusión del principio de identidad de los indiscernibles en el papel,

http://home.sandiego.edu/~baber/analítica/blacksballs.pdf

Puede ayudarle a decidir qué concepción de conjunto será más susceptible con sus objetivos.

Y, hay otro punto a tener en cuenta. Usted habla de conjuntos en el espíritu constructivo con el que se han introducido en la historia. La noción de formalismo en matemáticas ha dejado de utilizar esta relación para otras partes de las matemáticas. Esta es la razón que explica Skolem las críticas de que había sido aceptado. Uno puede hablar de cómo los objetos matemáticos pueden ser representados dentro de la teoría de conjuntos, pero, la teoría de conjuntos no es tan ampliamente considerado "fundamental", como lo había sido en el pasado. Esto es en gran parte debido a cómo la aritmética puede ser usado para representar las declaraciones acerca de qué se puede y qué no puede ser probada. Pero, que es diferente de lo que se entiende por el formalismo, y, el formalismo se divorcia de la teoría de conjuntos a partir de la función de ser el "pegamento".

La moderna teoría de conjuntos no es lo que la mayoría de los matemáticos piensan que es. Uno puede "creer" en los sets, pero la conflictividad de las posiciones en el Profesor Negro de papel, puede muy bien se han divorciado de la teoría de conjuntos de aplicar matemáticas. Y, esta insistencia en una lógica estética en detrimento de formas matemáticas se puede remontar de nuevo a pasajes de Aristóteles.

Lo que parece estar buscando es una sola desarrollo progresivo que conduce a los elementos utilizados por las matemáticas aplicadas. He encontrado la "Vectores y Tensores" por Bowen y Wang,

https://www.amazon.com/Introduction-Vectors-Tensors-Two-Mathematics/dp/048646914X

para ser útil en este sentido. Hay una versión en línea si usted lo busca. Se presenta en dos volúmenes, y, la transición de la algebraicas de desarrollo a la métrica del espacio es en el primer capítulo del segundo volumen. Es esta transición que debe motivar el estudio de Willard auto-verificación de los sistemas de la aritmética en lugar de la aritmética de Peano. Pero, a menos que uno está particularmente interesado en cómo fundacional de los estudios se refieren a las matemáticas aplicadas, uno ni siquiera lo reconocen.

Mientras espero a que han dado las maneras alternativas de pensar acerca de su situación, sospecho que usted todavía va a seguir la teoría de conjuntos fuera de su propia curiosidad. La buena suerte.