Un (posible) error en Ahlfors' texto (continuación analítica a lo largo de los arcos)

Question

En Ahlfors complejos de análisis de texto, página 289 él habla de continuación analítica a lo largo de los arcos. Voy a empezar con algunos antecedentes

Deje $\mathbf{f}$ mundial de la analítica de la función, con la correspondiente superficie de Riemann $\mathfrak{S_0} (\mathbf{f})$ (que está conectado a un componente de la gavilla $\mathfrak{S}$ de los gérmenes de funciones analíticas en el plano complejo). Ahlfors define una continuación analítica, a lo largo de un arco $\gamma:[a,b] \to \mathbb C$ a ser un continuo de la función $\overline{\gamma}:[a,b] \to \mathfrak{S_0}(\mathbf{f})$, de tal manera que $\pi \circ \bar{\gamma}=\gamma$ donde $\pi$ es el estándar de la proyección del mapa.

Más adelante en la misma página, que investiga el caso donde la continuación analítica es imposible lo largo de un arco $\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}$, a partir de la inicial de germen de $\mathbf{f}_{\zeta(a)}$ (creo que es un error tipográfico, y debe leer $\mathbf{f}_{\gamma(a)}$ lugar). Él observa que la continuación analítica es posible si nos limitamos a subarcs $\gamma \big|_{[a,t_0]}$ para las pequeñas suficiente $t_0$. A continuación, se considera el supremum de la serie (que voy a llamar a $E$) de todos los números de $t_0$, e indica que $\tau$.

Las siguientes afirmaciones acerca de $\tau$, que estoy teniendo problemas para ponerse de acuerdo con:

• $a<\tau<b$
• la continuación será posible para $t_0 < \tau$, imposible para $t_0 \geq \tau$.

Con respecto a la primera afirmación, estoy de acuerdo en que $a<\tau$, ya que el $E$ contiene los números mayores que $a$ - sin embargo, yo no puedo ver por qué $\tau$ es estrictamente menor que $b$.

Respecto a la segunda afirmación, estoy de acuerdo en que la analítica es posible continuación para $t_0<\tau$ ya que estos son miembros de $E$. También estoy de acuerdo con que la continuación analítica es imposible para $t_0>\tau$, por las propiedades de la supremum - sin embargo, ¿por qué es la continuación analítica nunca posible que el punto de $t_0=\tau$ sí?

Por favor ayudarme a resolver esto. Gracias!

Answer 1

Con respecto a $a < \tau < b$, sí, es absolutamente posible que el $\tau = b$. Eso es un error, debería ser $a < \tau \leqslant b$.

Como para

sin embargo, ¿por qué es la continuación analítica nunca posible que el punto de $t_0 = \tau$ sí

si usted tiene $\overline{\gamma}(t) \in \mathfrak{S}_0$, que es un germen de una analítica de la función, y eso significa que hay un anaytic función en un barrio de $U$ $\gamma(t)$ cuyo germen en $\gamma(t)$$\overline{\gamma}(t)$, y que la función permite extender $\overline{\gamma}$ un poco más allá de $t$, ya que el $\gamma([t,t+\varepsilon]) \subset U$ para las pequeñas suficiente $\varepsilon > 0$.

Sobre el $\mathbf{f}_{\zeta(a)}$ cuestión, creo que Ahlfors usa $\zeta(a)$ para denotar un genérico de punto por encima de la $\gamma(a)$. Tenga en cuenta que la superficie puede tener varios puntos por encima de cualquier punto del plano, así que uno necesita para especificar que el punto de $\mathfrak{S}_0$ uno está hablando. Sería deseable que se hizo del todo claro.