¿Puede alguien encontrar los valores de estos enteros: a,b,c y d?
$$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} = \sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d}}}}$$
a+b+c+d = ?
Gracias, señor.
Muy impresionado. Muchas gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?$$F=1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6=(1+\sqrt2)(1+\sqrt3)$$
$$F^2=a+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt d}}$$
Elevando al cuadrado obtenemos $$F^2=(1+\sqrt2)^2(1+\sqrt3)^2=(3+2\sqrt2)(4+2\sqrt3)=12+8\sqrt2+6\sqrt3+4\sqrt6\implies a=12$$
$$F^4=a^2+b+\sqrt{c+\sqrt d}+2a\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt d}}$$
$$F^4=(3+2\sqrt2)^2(4+2\sqrt3)^2=(17+12\sqrt2)(28+16\sqrt3)$$
$\implies a^2+b=17\cdot28$ pero $a=12$
¿Puedes llevártelo a casa desde aquí?
¿No estás asumiendo que $8\sqrt2+6\sqrt3+4\sqrt6-\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt d}}$ no puede ser un entero distinto de cero?
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Eleva al cuadrado ambos lados, resta $a$ , cuadrar de nuevo, restar $b$ , cuadrar, restar $c$ cuadrado. Ahora tienes una expresión que involucra las raíces cuadradas de 2, 3 y 6, y quieres que los coeficientes de esas raíces cuadradas sean cero. Esto te da ecuaciones para resolver $a$ , $b$ y $c$ .