$\Bbb R^2=\{(x,y)\mid x,y\in\Bbb R\}$ . ¿Existe un conjunto $S\subset \Bbb R^2$ de manera que cada línea $T_{a, b,c}=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid ax+by+c=0\}$ , donde $a$ y $b$ no son ambos cero, contiene exactamente $2$ puntos en $S$ ?
Respuestas
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Igor Rivin
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Sí, ver este artículo. Y aquí hay más personajes.
Es fácil construir un conjunto de este tipo. Sea $\mathscr{L}=\{L_\xi:\xi<2^\omega\}$ sea el conjunto de rectas en el plano. Para cada $A\subseteq\Bbb R^2$ dejar $\mathscr{L}(A)=\{L\in\mathscr{L}:|L\cap A|\ge 2\}$ .
Construiremos conjuntos $A_\eta$ para $\eta<2^\omega$ para que $|A_\eta|\le\omega+|\eta|$ , $A_\xi\subseteq A_\eta$ y $|L_\xi\cap A_\eta|=2$ siempre que $\xi\le\eta<2^\omega$ . Sea $x_0$ y $y_0$ sean puntos distintos de $L_0$ y que $A_0=\{x_0,y_0\}$ . Si $\eta<2^\omega$ y los conjuntos $A_\xi$ para $\xi<\eta$ han sido construidos, dejemos $A_\eta'=\bigcup_{\xi<\eta}A_\xi$ . Si $L_\eta\in\mathscr{L}(A_\eta')$ , dejemos que $A_\eta=A_\eta'$ . Si no es así, hay que distinguir dos casos.
- Si $L_\eta\cap A_\eta'=\varnothing$ , dejemos que $x_\eta$ y $y_\eta$ sean puntos distintos de $L_\eta\setminus A_\eta'$ Esto es posible, ya que $|A_\eta'|<2^\omega=|L_\eta|$ . Sea $A_\eta=A_\eta'\cup\{x_\eta,y_\eta\}$ .
- Si $L_\eta\cap A_\eta'=\{x\}$ , dejemos que $x_\eta$ sea cualquier punto de $L_\eta\setminus A_\eta'$ y que $A_\eta=A_\eta'\cup\{x_\eta\}$ .
En todos los casos $|A_\eta|\le\omega+|\eta|$ , $A_\xi\subseteq A_\eta$ para cada $\xi\le\eta$ y $|L_\xi\cap A_\eta|=2$ para cada $\xi\le\eta$ , por lo que la construcción pasa por $2^\omega$ . Sea $A=\bigcup_{\xi<2^\omega}A_\xi$ claramente $L_\xi\cap A=L_\xi\cap A_\xi$ para cada $\xi<2^\omega$ , por lo que cada línea se cruza con $A$ en exactamente dos puntos.
