Podemos siempre la construcción de un "$p$th raíz" de una $p$-elemento en un grupo finito?

Question

Deje $p$ ser un primo, $G$ un grupo finito, y $g\in G$ $p$- elemento. Puede uno siempre incrustar $G$ en un grupo finito $H$ que contiene un $p$elemento $h$ tal que $h^p=g$?

Answer 1

Sí. $G$ es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico $S_n$, por lo que podemos suponer $G=S_n$. Si integramos $S_n$ a $S_n^p=S_n\times\dots\times S_n$ mediante el envío de $\sigma$$(\sigma,\dots,\sigma)$, y luego incrustar en $S_{pn}$ en la forma obvia, entonces cada elemento de a $S_n$ $p$th raíz en $S_{pn}$, ya que el producto de $p$ discontinuo $k$-ciclos es el $p$th poder de una $pk$-ciclo.