IID Variables Aleatorias que no son constantes no converge casi seguramente

Question

Estoy tratando de probar el siguiente.

Si $\{ X_n \}$ son variables aleatorias iid y no es constante, entonces $R:=P\{ \omega \mid X_n(\omega)\text{ converges} \}=0$

El uso de independencia sé que mediante la prueba de Kolmogorov del 0-1 de la ley, que si $R$ no $0$$R=1$. Así que creo que la manera de hacer esta prueba por contradicción. Así que estoy tratando de mostrar a $R=1$ implica que el $X_n$ son constantes en el uso de sus idéntica distribución, pero lamentablemente no está funcionando. Ayuda sería apreciada. Gracias!

Answer 1

$\left\{\omega: \lim X_n(\omega) \le c \right\}$ está en la cola $\sigma$-álgebra para cada $c$. Así, mediante la prueba de Kolmogorov $0-1$ ley que han de converger a una constante si convergen.

Pero esto no puede suceder si $X_n$ no son constantes. Porque en este caso para cualquier constante $c$ tenemos algunos $\epsilon > 0$, de modo que

$P(X_n(\omega) < c - \epsilon) \ge \delta > 0$ por cada $n$

o $P(X_n(\omega) > c + \epsilon) \ge \delta > 0$ por cada $n$.

En cualquier caso, vemos que $X_n(\omega)$ no convergen a $c$ casi seguramente.