Debería haber encontrado una prueba de la afirmación.
En primer lugar, expongo las siguientes afirmaciones que son resultados bien conocidos sobre los espacios de cohesión (para una referencia, véase la literatura citada en los comentarios).
Afirmación 1: si X es un coespacio, entonces $\pi_1(X)$ es gratis.
Afirmación 2: si X es un coespacio entonces se toma $\alpha \in H^{p_1}(X; G_1)$ , $\beta \in H^{p_2}(X; g_2)$ el producto de la copa $\alpha \cup \beta=0$ en $H^{p_1+p_2}(X; G_1 \otimes G_2)$ .
Por 1) tenemos $\pi_1(M) \cong F_r$ y $H_1(M)\cong \mathbb{Z}^r$ . Ahora sabemos que un colector muy compacto es siempre $\mathbb{Z}/_{2 \mathbb{Z}}$ orientable por lo que podemos utilizar la dualidad de Poincarè con coeficientes mod 2. Se puede demostrar que si la DP es válida, entonces para M sin frontera conectada compacta $R$ -orientable, entonces el emparejamiento $H^{k}(M;R)\otimes H^{n-k}(M;R)\rightarrow R$ dado por $\alpha \otimes \beta \mapsto\langle \alpha \cup \beta, [M]\rangle$ es perfecto.
Por lo tanto, tenemos usando 2) para $n>2$ que $H^k(M; \mathbb{Z}/_2)=0$ si $0<k<n$ . Ahora considere los e.e.s. $0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{2}\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/_{2 \mathbb{Z}}\rightarrow 0$ y por la secuencia de Bockstein asociada tenemos $0=H_2(M;\mathbb{Z}/_{2 \mathbb{Z}})\rightarrow H_1(M)\xrightarrow{2}H_1(M)\rightarrow H_{1}(M; \mathbb{Z}/_{2 \mathbb{Z}})=0$ (necesitamos el supuesto $n>2$ para conseguir $H_2=H_1=0$ por la DP).
Por lo tanto, hemos demostrado $\mathbb{Z}^r \xrightarrow{2} \mathbb{Z}^r$ es una iso que implica $r=0$ y el grupo fundamental de $M$ es trivial. Esto implica que $M$ es $\mathbb{Z}$ -orientable (es decir, la orientación clásica) y ahora podemos utilizar PD con coeficientes enteros. Razonando igual que antes (usando el emparejamiento y la afirmación 2)) obtenemos $H_k(M)=0$ para $0 <k<n$ y trivialmente $H_0(M)=H_n(M)=\mathbb{Z}$ demostrando finalmente el enunciado del ejercicio.
Para el caso $n=1,2$ podemos utilizar fácilmente los teoremas de clasificación de $1,2$ -de los colectores de la dimensión para obtener la afirmación.
Si $n=1$ ser $M$ compacto $M$ debe ser homeomorfo al círculo $S^1$ que, siendo la suspensión reducida de $S^0$ es un co-espacio.
Si $n=2$ recordemos que demostramos $H_1(M)=\mathbb{Z}^r$ así $M$ no puede ser una superficie no orietable (ya que su $H_1$ tiene torsión): tenemos $M \cong \Sigma_g$ para algunos $g \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, tenemos que $M$ es orientable y, como en el caso anterior, argumentamos $H_1(M)\cong H^{1}(M)=0$ dejando la esfera $S^2$ como único candidato posible, pero $S^2= \Sigma S^1$ una suspensión reducida, entonces es en realidad un coespacio.
