Demostración del límite de la suma de series

Question

Sé que

$$\exp(-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+2}x^n}{n!}$$

converge para cada $x$

Entonces deberíamos tener

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+2}x^n}{n!}=0$$

¿Cómo podemos demostrar el resultado anterior SIN utilizar la función exponencial? Me encontré con algunas situaciones similares en las que tengo una serie y debo calcular el límite de la suma. Una de ellas es:

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+2}x^{n+1}}{n\cdot n!}$$

Es muy útil resolver uno de ellos, o los dos, o todos.

Answer 1

Este profesor se basa en ecuaciones diferenciales.

Sea $f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n/n!$ . Entonces $$ f'+f=0,\quad f(0)=1. $$ La ecuación $y'+y=0$ satisface las condiciones de existencia y unicidad de solución. Dado que $y\equiv0$ es una solución, la unicidad implica que $f(x)>0$ para todos $x>0$ . Entonces $f'<0$ , $f$ es decreciente en $[0,\infty)$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)=a\ge0$ existe. Suposse $a>0$ . Entonces tendríamos $f'(x)=-f(x)<-a$ para todos $x>0$ . El implicaría que $$ f(x)=1+\int_0^xf'(s)\,ds\le1-a\,x, $$ en contradicción con el hecho de que $f(x)>0$ para todos $x>0$ .