Hacer todo monic polinomios factor en monic irreducibles?

Question

Hacer todo monic polinomios en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[x]$ donde $n$ es el primer factor en monic irreducibles?

Con sólo pensar en estos monic polinomios y cómo actúan solamente en un número finito de elementos que me hace pensar que la afirmación es verdadera, porque si $d$ es una raíz de un monic polinomio $f(x)$ $f(x)= (x-d)g(x)$ donde $g(x)$ es monic, y se podría aplicar la misma regla de forma iterativa hasta agotar todas las raíces. Pero no estoy seguro de cómo realmente probar esto, que suena muy similar a la de una parte del teorema fundamental de la aritmética, pero no puedo encontrar la manera de cuantificar un polinomio de la misma manera que lo haría un entero para una prueba inductiva. Cómo se podría ir sobre el inicio de una prueba de ello?

Answer 1

Si $F$ es un campo, entonces $F[X]$ es una única factorización de dominio, por lo que cada polinomio distinto de cero en $F[X]$ puede ser tenidos en cuenta en un único producto de irreducibles (hasta de escala por parte de las unidades). Si $f \in F[X]$ es monic, a continuación, $f$ puede ser factorizado como $f_1 \cdot f_2 \cdots f_n$ para los polinomios irreducibles $f_1, \ldots, f_n \in F[X]$ cuya principal los coeficientes de $c_{1}, \ldots, c_{n} \in F$ debe ser unidades. Desde $\prod_{i=1}^{n} c_{i} = 1$, podemos multiplicar cada una de las $f_{i}$ $c_{i}^{-1}$ conseguir $\tilde{f_{i}}$ monic irreducible tal que $f = \tilde{f_{1}} \cdot \tilde{f_{2}} \cdots \tilde{f_{n}}$, ya que esto equivale a multiplicar $f$$\prod_{i=1}^{n} c_{i}^{-1} = (\prod_{i=1}^{n} c_{i})^{-1} = 1^{-1} = 1$.

Esto puede ser especializado para su caso $F = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $p$ prime.

Answer 2

Si $F$ es un campo, entonces cualquier factorización de un monic polinomio en $F[x]$ puede ser hecho monic. En efecto, si $f$ factores $p$ y tiene un coeficiente inicial $a\neq 1$, $a^{-1}\cdot f$ es monic y tiene las mismas raíces como $f$, y por lo tanto también factos $p$.

Ahora, si $p$ es monic, $\prod f_i$ es cualquier factorización de $p$ $a_i$ es el coeficiente inicial de cada una de las $f_i$, $\prod a_i=1$ por supuesto $\prod {(a_i)}^{-1}={\left(\prod a_i\right)}^{-1}=1$. De ello se desprende que $\prod \left(a_i^{-1}\cdot f_i\right)$ es un monic factorización de $p$.

Más generalmente, si $p$ es un polinomio en a $F[x]$ con los principales coeficiente de $c$, entonces uno puede siempre factor de $p$ $c$ veces un producto de monic polinomios.