Una pregunta acerca de los enteros de la forma $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

Question

Este post (Encontrar todos los posibles valores de $x+y+z$.) me hizo curioso. Considerar este problema: Deje $x,y,z \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=t$ es un número entero.

Que los enteros $t$ se pueden expresar de esta manera? (Hay infintely muchos al $\gcd(x,y,z)=1$?)

Editar: Conjetura: Si $b=\gcd(x,y),c=\gcd(y,z),a = \gcd(x,z)$ $(x,y,z) = (a^2b,b^2c,c^2a)$ y, a continuación, $xyz=(abc)^3$ es siempre un cubo, y $x/y+y/z+z/x = \frac{a^3+b^3+c^3} {abc}$

Prueba: Existen $k,l,m$ tal que $x = bak, y=bcl,z=acm$. De esto se sigue que (conectando $x,y,z$ $x/y+y/z+z/x=t$ y reordenando:

$a \cdot m(tbckl-abk^2-c^2lm) = k \cdot b^2cl^2$ (1)

Desde $\gcd(ak,cl)= \gcd(bk,cm) = \gcd(bl,am)=1$ Se sigue por la ecuación (1) $k|a$ $a|k$ por lo tanto $a=k$. Al igual que tenemos: $l=b,m=c$ y la conjetura está probado. Por lo tanto: $(x,y,z) = (a^2b,b^2c,c^2a)$

También, he encontrado la OEIS secuencia: http://oeis.org/A072716

Answer 1

el problema parece muy familiar; aquí hay algunas coprime soluciones. Hay más libertad para que las soluciones que inicialmente parece. Sin embargo, el primer factorizations de $x,y,z$ son bastante rígidos, sólo dos o tres de los números primos están involucrados en estas primeras soluciones, si tres números primos, uno de ellos es $2.$

Bien, llegó el primer sobre con cuatro de los números primos.

Creo que hay un tipo de rigidez que tiene para las soluciones encontradas hasta el momento. Yo no programa de esta comprobación, he mirado en la lista mí mismo. Parece que, cuando un primer $p$ se divide una de $x,y,z,$ siempre divide un segundo (pero no a los tres, yo demanda mcd). Además, si el más pequeño distinto de cero exponente de $p$$t,$, luego la otra entrada ha $p^{2t},$, de modo que la triple a ha $1, p^t, p^{2t},$ $xyz$ es divisible por $p^{3t}.$

Esto sugiere una mucho más rápida del programa, pero no exhaustiva. Tomar dos o tres o cuatro o cinco números primos. Para cada uno, no la use o recoger una pequeña mínimo exponente $t.$ Asignar los factores de $1, p^t, p^{2t},$ en uno de los seis posibles órdenes de a $x,y,z.$ Hacer lo mismo para los otros primos elegido, $q$ con exponente $u,$ $r$ con exponente $v.$ Ver si la solución se produce.

 a         x     y     z
 3         1     1     1  :::      1 =   1  ;    1 =   1  ;    1 =   1 
 5         4     1     2  :::      4 =  2^2 ;    1 =   1  ;    2 =  2
 6        12     9     2  :::      12 =  2^2 3 ;    9 =  3^2 ;    2 =  2
 6        18     4     3  :::      18 =  2 3^2 ;    4 =  2^2 ;    3 =  3
41        81     2    36  :::      81 =  3^4 ;    2 =  2 ;    36 =  2^2 3^2
 9        98    12    63  :::      98 =  2 7^2 ;    12 =  2^2 3 ;    63 =  3^2 7
 9       147    18    28  :::      147 =  3 7^2 ;    18 =  2 3^2 ;    28 =  2^2 7
41       162     4     9  :::      162 =  2 3^4 ;    4 =  2^2 ;    9 =  3^2
66       196     3   126  :::      196 =  2^2 7^2 ;    3 =  3 ;    126 =  2 3^2 7
19       225    81     5  :::      225 =  3^2 5^2 ;    81 =  3^4 ;    5 =  5
41       350   196     5  :::      350 =  2 5^2 7 ;    196 =  2^2 7^2 ;    5 =  5
19       405    25     9  :::      405 =  3^4 5 ;    25 =  5^2 ;    9 =  3^2
66       588     9    14  :::      588 =  2^2 3 7^2 ;    9 =  3^2 ;    14 =  2 7
14       637   338    28  :::      637 =  7^2 13 ;    338 =  2 13^2 ;    28 =  2^2 7
41       980    25    14  :::      980 =  2^2 5 7^2 ;    25 =  5^2 ;    14 =  2 7
14      1183    98    52  :::      1183 =  7 13^2 ;    98 =  2 7^2 ;    52 =  2^2 13
53      1458    28  1323  :::      1458 =  2 3^6 ;    28 =  2^2 7 ;    1323 =  3^3 7^2
10      1620   175   882  :::      1620 =  2^2 3^4 5 ;    175 =  5^2 7 ;    882 =  2 3^2 7^2