Máximo de $E[|X+Z|^m]$ $Z$ normal estándar y $X$ independiente de $Z$, con dos valores, con $E[|X|^k]=c$

Question

Deje $Z$ ser una distribución normal estándar.

Estoy tratando de encontrar una solución para el siguiente problema: \begin{align} &\max_{ x_1,x_2 \in \mathbb{R}, t\in[0,1]} (1-t) E[|x_1+Z|^m]+t E[|x_2+Z|^m]\\ &\text{ s.t. } (1-t) |x_1|^k+t|x_2|^k=c \end{align} donde $0\le m\le k$.

Este problema también puede ser lanzado como el siguiente problema: \begin{align} &\max_{X} E[|X+Z|^m] \quad (*)\\ &\text{ s.t. } X \text{ has two mass points}, E[|X|^k]=c, X \text{ is indpendent of } Z \end{align}

Mi conjetura es que el problema es maximizada por el determinismo de la variable aleatoria $X= c^{\frac{1}{k}}$ y \begin{align} \max_{X} E[|X+Z|^m]= E[|c^{\frac{1}{k}}+Z|^m]. \end{align}

Mientras estamos restringir $Z$ a ser normal estándar sería bueno tener una prueba de que funciona para todos los simétrica y absolutamente continuas distribuciones.

Me siento como la prueba debe ser el uso de la desigualdad de Jensen, pero no está seguro de cómo usarlo. La razón es la siguiente. Supongamos que eliminamos $Z$ y buscan optimizar

\begin{align} &\max_{X} E[|X|^m]\\ &\text{ s.t. } X \text{ has two mass points}, E[|X|^k]=c, X \text{ is indpendent of } Z \end{align} Ya, $m \le k$ por la desigualdad de Jensen \begin{align} E[|X|^m] \le ( E[|X|^k] )^{\frac{m}{k}}. \end{align} Tenga en cuenta, que la desigualdad de Jensen es la igualdad iff $X$ es una constante. Así, el problema de optimización $\max_{X} E[|X|^m]$ es resolver determinista de la variable aleatoria.

Edit 1: parece que mi conjetura es cierto sólo en algunos casos. Ver un muy buen enfoque de kimchilover.

Edit 2: también parece que en $(*)$ $\max$ debe ser reemplazado con $\sup$. Esto también fue señalado por kimchilover.

Answer 1

Este problema es más difícil, y más interesante, de lo que se pensaba originalmente. El OP de la conjetura a veces es verdad y a veces no, dependiendo de los valores de $k$ $m.$

Por $m$ deje $g(x) = E|Z+x|^m,$ donde $Z\sim N(0,1).$ La simetría de la distribución de $Z$ implica $g(x)=g(-x)$. Si $m\ge 1$ la función de $g$ es convexa en a $\mathbb R.$ Pero $g$ es cóncava en a $[0,\infty)$ si $m<1$. Como se indica en un comentario, vamos a $\Gamma=\{(x^k,g(x)): x\ge 0\} = \{(u, g(u^{1/k})): u\ge 0\}.$ (Nota: el comentario no restringir $x\ge0,$, pero se debe tener). Deje $H\subset \mathbb R^2$ ser cerrado convexo casco de $\Gamma.$ El cierre de un conjunto de posibles $(E|X|^k, E|X+Z|^m)$ valores alcanzables como variar la probabilidad de la ley de $X$ es exactamente el conjunto $H$. Deje $L=\{(x,y)\in\mathbb R^2: x=c\}$. La intersección $H\cap L$ es un intervalo cerrado en el plano; el OP pregunta se refiere el punto final superior de dicho intervalo.

Hay dos casos a considerar. En el caso fácil, la función de $\gamma: u\mapsto g(u^{1/k})$ es cóncava. Entonces, el máximo es de $\gamma(c^{1/k})$, alcanzado en $(c,g(c))\in\Gamma$ al $P(X=c^{1/k})=1$, como el OP conjetura.

En el difícil caso de $g$ no es cóncava. Deje $\gamma^*$ ser la parte superior cóncava de la envolvente de $\gamma$, es decir, la pointwise infimum de todas las funciones cóncavas pointwise mayor que $\gamma$. Por Dubins del teorema, o por Rockafellar del Corolario 17.1.5 (transposición de su convexa a nuestro cóncava, etc.) sabemos que $(c,\gamma^*(c))$ es una combinación convexa de más de dos puntos en $\Gamma$, que es lo que la declaración original del problema quería. Tenga en cuenta también que esta $(c,\gamma^*(c))$ es en el cierre del casco de $\Gamma$ y en sí mismo puede ser sólo un límite de 2 puntos de mezclas, no un 2 punto de mezcla en sí misma. Y no podría ser que las condiciones técnicas necesarias para aplicar estos teoremas.

Entonces, ¿qué distingue el caso fácil desde el disco duro? En primer lugar, si $m$ es un entero par, $g(x)$ funciona a un polinomio con no negativo de los coeficientes de grado $m$. Por lo tanto $\gamma(u)$ es una combinación de términos no negativos $u^{j/k}$$0\le j\le m$, cada uno de los cuales es cóncava, tan largo como $k\ge m$. Otro caso a considerar es $m=1.$ a Continuación, se puede comprobar que el $\gamma$ es no menos cóncava $k\ge 2$. En general, para $\gamma$ a ser cóncava de la función $u\mapsto g'(u^{1/k})u^{1/k-1}$ debe ser la disminución en el $u\in\mathbb R_+$), es decir, $g'(x)x^{1-k}$ es la disminución en $x\in \mathbb R_+$.

AÑADIDO el 26 de julio. En el no cóncava caso de que el buscado después de un máximo de $E|X+Z|^m$ no necesita ser alcanzado, pero sólo de forma aproximada 2-punto de distribuciones para $X$. En el $k=m=1$ caso de que la función de $\gamma$ es convexo y creciente, y el conjunto de $H$$\{(x,y): x\ge 0, g(x)\le x \le x+g(0)\},$, pero los puntos de la forma $(x,x+g(0))$ $x>0$ no están en el casco convexo de $\Gamma$, pero solo en su cierre. Que no puede ser alcanzado por cualquier distribución en $X$. Por lo tanto el enunciado original del problema debe tener pidió $\sup E|X+Z|^m$ en lugar de $\max E|X+Z|^m.$

AÑADIÓ & editado (para lidiar con $k\ne1$) 29 de julio. En retrospectiva, me podría haber escogido notaciones un poco mejor. Deje $\gamma(x) = g(x^{1/k}).$ Deje $\Gamma=\{(x,\gamma(x)): x\ge0\}$ ser la gráfica de $\gamma$. Deje $S$ ser el casco convexo de $\Gamma$, y deje $\overline S$ es el cierre de $S$. Deje $\gamma^*$ ser la parte superior cóncava de la envolvente de $\gamma$. El problema de la optimización de la $E\gamma(X)$ $X\ge$ tal que $E|X|^k=c$ es resuelto por $\gamma^*(c)$ en uno de estos sentidos: Si $(c,\gamma^*(c))\in \Gamma$ el óptimo se alcanza, como el OP conjetura, por 1 punto de distribución para que $P(X=c)=1.$ Si en lugar de $(c,\gamma^*(c))\in S \setminus \Gamma,$ es óptimo alcanzado por una de 2 puntos de distribución. Pero si $(c,\gamma^*(c))\in \overline S \setminus S,$ el óptimo no es alcanzado, pero sólo de forma aproximada 2-punto de distribución.