$p\ dq$ es la "tautológica" de un formulario?

Question

La sola forma $$\theta=\sum_i p_i\, \text dq^i$$ es un objeto central en hamiltoniana de la mecánica. Tiene un montón de aplicaciones: $\omega=\text d\theta$ es la estructura simpléctica en el espacio de fase, $S=\int\theta$ es la clásica de la acción, y así sucesivamente y así sucesivamente. Se asocia con los nombres de Liouville de un formulario, Poincaré una forma canónica de una forma, y simpléctica potencial, ninguno de los cuales me sorprende, pero su entrada en la Wikipedia me informa de que es el preferido de^{[¿por quién?]} nombre en realidad es "tautológica" de una forma, sobre la base de que 'canónica' (que sería mi elección natural) es "ya muy cargado", y debido a que el riesgo de confusión con algunos algebraicas thingammy.

Este nombre completamente desconcierta a mí. ¿Por qué el nombre de "tautológica" elegido para este objeto? Cuándo, dónde, y por quién? O fue el nombre elegido porque ese es su nombre?

Answer 1

El nombre parece apropiado si se considera que proviene probablemente el caso cuando el colector es la cotangente paquete de un colector. A continuación, un punto en $T^*M$ es un par $(x,\alpha)$ donde $x$ es un punto en el $M$ $\alpha$ un formulario. La definición de la tautológica una de las formas es: el valor de la forma en un punto de $(x,\alpha)$ en un vector tangente se obtiene mediante la proyección del vector a un vector tangente en $M$ y la evaluación (en $x$) la forma $\alpha$. En otras palabras, para $v\in T(T^*M)$ el valor es $\theta_{(x,\alpha)}(v):=\alpha_x(d\pi(v))$ donde $\pi : T^*M \rightarrow M$ es la proyección.

En cierto modo es bastante redundante.

Answer 2

I) En general simpléctica colector $({\cal M},\omega)$ (normalmente llamado espacio de fases por los físicos), uno puede localmente elegir un simpléctica potencial de $\theta\in \Gamma(T^{*}{\cal M}|_{\cal U})$, que es un uno-de forma tal que

$$\tag{1} \mathrm{d}\theta~=~\omega,$$

cf. Poincaré Lema. Aquí ${\cal U}\subseteq {\cal M}$ denota un local del barrio.

Tenga en cuenta que el simpléctica potencial de $\theta$ es nunca el único (o 'canónica') en el sentido de que

$$\tag{2} \theta^{\prime}~=~\theta+\mathrm{d}F$$

también sería un simpléctica potencial, si $F$ es un cero de forma (aka. una función).

Para un general simpléctica colector $({\cal M},\omega)$ no puede existir un mundo definido simpléctica potencial de $\theta$.

Darboux teorema establece que cualquier $2n$-dimensiones simpléctica colector $({\cal M},\omega)$ es localmente isomorfo a la cotangente del paquete de $T^*(\mathbb{R}^n)$ equipada con el simpléctica canónica de dos formas.

II) Consideremos ahora el caso especial donde la simpléctica colector ${\cal M}=T^{*}M$ pasa a ser un cotangente paquete equipado con el simpléctica canónica de dos formas $\omega$, que en coordenadas locales se lee

$$\tag{3} \omega|_U ~=~\sum_{i=1}^n\mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^i.$$

Aquí $U\subseteq M$ denota un local del barrio de la base del colector $M$. ( La base del colector $M$ que se suele llamar el espacio de configuración de los físicos). Por otra parte, $q^i$ son coordenadas locales sobre la base del colector $M$, e $p_i$ son coordenadas locales de la cotangente de las fibras.

Entonces no siempre existe un definido globalmente simpléctica potencial de $\theta\in \Gamma(T^{*}M)$ que en coordenadas locales se lee

$$\tag{4} \theta|_U~=~\sum_{i=1}^np_i \mathrm{d}q^i.$$

Desde definido globalmente de una forma (4) viene de forma gratuita en la cotangente de un paquete de $T^{*}M$ para cualquier colector $M$, que se llama 'redundante'.