Teoría del campo medio = gran $N$ ¿aproximación?

Question

Wikipedia entrada de $1/N$ (o expansión N grande de 't Hooft) menciona que

It (large- $N$ ) también se utiliza ampliamente en la física de la materia condensada, donde puede emplearse para proporcionar una base rigurosa para la teoría del campo medio.

Me gustaría tener referencias que revisen esta conexión entre MFT y grandes $N$ .

Answer 1

Cualquier buen libro sobre teoría estadística de campos y fenómenos críticos tendrá un capítulo sobre grandes N. Véase, por ejemplo, el libro de Zinn-Justin.

Téngase en cuenta que la aproximación de N grande es un tipo especial de teoría de campo medio (ya que es a la vez autoconsistente y exacta en N grande). $N$ ). Por lo tanto, es bastante diferente de la teoría de campo medio habitual que se utiliza, por ejemplo, en el caso del modelo de Ising.

Se llama de campo medio porque sólo hay que minimizar la acción sin computar ninguna corrección (que son de orden $1/N$ ). Pero la ecuación es autoconsistente, contrariamente a la teoría de campo medio habitual.

En resumen: para el $O(N)$ modelo, con $N\to\infty$ se podría utilizar el campo medio habitual, o el "gran $N$ campo medio". Los resultados no serían los mismos, ya que el primero es aproximado y el segundo es exacto.

En principio, también puede utilizar el gran $N$ resultados a finitos $N$ aunque no sea exacto en ese caso (pero a veces $3\gg1$ ). Pero definitivamente no funciona para el modelo de Ising ( $N=1$ ). De hecho, la gran $N$ utilizan el hecho de que los modos Goldstone (los modos $\pi_i$ ) dominan la física en comparación con la fluctuación de $\sigma$ (porque hay un número infinito de modos Goldstone en comparación con uno $\sigma$ ). Pero en el caso Ising, el único modo está siempre entreabierto (lejos de la criticidad), por lo que los resultados del gran $N$ no tiene sentido.

Answer 2

Creo que la respuesta de Adam es excelente, y preferiría hacer este comentario pero no puedo ya que acabo de registrarme para poder responder.

Aunque estoy de acuerdo con la mayor parte de lo que ha dicho Adam, hay casos en los que la gran N funciona bien para $N=1$ . El caso con el que estoy familiarizado es la expansión de la gran N para el "Spin Ices" Dy $_2$ Ti $_2$ O $_7$ y Ho $_2$ Ti $_2$ O $_7$ que tienen espines Ising en una red piroclórica. La mejor referencia al respecto es la obra de Sergei Isakov Tesis doctoral (Universidad de Estocolmo 2004), concretamente la sección 4.3 y la subsección 4.8.2.

En esa tesis se señala que no debemos esperar que el gran N funcione para los pirocloros por debajo del $N=3$ la expansión es singular en $N=2$ debido al orden por desorden. Una comprobación exhaustiva con simulaciones Monte Carlo y experimentos verifica que la expansión es buena para $N=1$ (referencias en la tesis), pero no sabemos a qué se debe.

Me vi en la necesidad de demostrar la equivalencia de la gran N y la MFT a altas temperaturas. Pido disculpas si es de mala educación hacer referencia a mi propio trabajo, pero en la sección 2.4 de mi tesis de máster, que se puede consultar, proporciono una demostración matemática. aquí (Instituto Perimeter 2011).

Creo que la principal diferencia de funcionamiento entre large-N y MFT es que la MFT siempre contiene una temperatura crítica distinta de cero $T_c$ pero que $T_c\sim 1/N$ con $N$ el número de grados de libertad en cada sitio de la red. Esto significa que la gran N, con $N\rightarrow\infty$ tiene $T_c=0$ a orden zeroth en el $1/N$ expansión (en la que generalmente se trabaja).