Cálculo de funciones de correlación de exponenciales de campos

Question

En su libro Teoría de campos de la materia condensada Altland y Simons suelen utilizar la siguiente fórmula para calcular los valores de expectativa térmica de las exponenciales de un campo real $\theta$ :

$$ \langle e^{i(\theta(x,\tau)-\theta(0,0))} \rangle = e^{-\frac12 \langle (\theta(x,\tau)-\theta(0,0))^2 \rangle} $$

Un ejemplo se encuentra en el capítulo 4.5, problema "Dualidad bosón-fermión", parte c). (Esto se refiere a la segunda edición del libro, página 185).

En otras palabras, los valores de expectativa de las exponenciales pueden ser arrojados como exponenciales de los valores de expectativa bajo ciertas condiciones. Desgraciadamente, parece que no he podido encontrar una explicación de por qué se puede hacer esto y cuáles son las condiciones sobre el Lagrangiano de $\theta$ son.

Por lo tanto, mi pregunta es:

¿Cómo se obtiene la fórmula anterior? ¿Qué necesitamos saber sobre $\theta$ para que sea válido en primer lugar?

Idealmente, estoy buscando una derivación utilizando el formalismo de la integral de la trayectoria. (He conseguido rederivar un caso muy especial en términos de operadores y de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff, pero me gustaría obtener una comprensión más profunda).

Answer 1

Esto no es más que una propiedad de la media gaussiana análoga al caso de dimensión finita:

$\langle e^{ix} \rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}=e^{-\frac{\sigma^2}{2}}= e^{-\frac{\langle x^2 \rangle}{2}}$

El campo puede descomponerse en sus modos gaussianos independientes e integrarse para cada modo por separado.

Answer 2

La derivación de David Bar Moshe es, por supuesto, correcta. Permítanme ofrecerles una prueba alternativa basada en la expansión de Taylor: $$ \left\langle e^{ix} \right \rangle = \left\langle \sum_{n=1}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} \right \rangle = \left\langle \sum_{k=1}^\infty \frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} \right \rangle $$ Aquí, acabo de utilizar que por alguna impar-dad, las potencias de impar tienen un valor de expectativa evanescente. En la fórmula anterior, $x$ es cualquier función lineal de los campos elementales que quieras, incluyendo tu coeficiente. Pero el valor de la expectativa de $x^{2k}$ es $$ \left\langle x^{2k} \right \rangle = \frac{ \int_{-\infty}^\infty {\rm d}x \,x^{2k}\exp(-x^2/2x_0^2)}{ \int_{-\infty}^\infty {\rm d}x \,\exp(-x^2/2x_0^2)} = 1\times 3\times \cdots \times (2k-1) \times x_0^{2k} $$ que puede calcularse integrando por partes o convirtiéndola en la integral de Euler (que también se evalúa por partes), de modo que al combinarla con la $1/(2k)!$ factor, los enteros Impares se cancelan, sólo el producto de los enteros pares que es igual a $2^k k!$ queda, y la suma original de la primera línea es $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x_0^2)^k}{2^k k!} = \exp(-x_0^2/2) $$ donde $x_0^2$ es el valor esperado de $\langle x^2\rangle$ porque lo utilicé en la distribución probabilística. De nuevo, puede establecer $x=\theta(x_1,t_1)-\theta(x_2,t_2)$ o cualquier función lineal de variables y mi derivación sigue siendo válida.