¿Podemos determinar la convergencia de $\int_0^\infty \frac{x^{2n - 1}}{(x^2 + 1)^{n + 3}}\,dx$ sin evaluarlo?

Question

¿Podemos determinar la convergencia sin evaluar esta integral impropia? $$\int_0^\infty {\frac{x^{2n - 1}}{{\left( x^2 + 1 \right)}^{n + 3}}\,dx}\quad\quad n\geq 1\;,\; n\in\mathbb{Z}$$

Al intentar acotar el integrando, relacionando una función conocida, la integral no converge.

Pero cuando utilizo el programa Maple veo que la integral converge a: $$\int_0^\infty {\frac{x^{2n - 1}}{{\left( x^2 + 1 \right)}^{n + 3}}\,dx}=\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n}}$$

Evaluarla no es difícil, pero quiero saber si se puede determinar la convergencia (delimitando el integrando) sin evaluar una integral tan impropia.

Answer 1

El numerador es de grado $2n - 1$ . El denominador parece un polinomio de grado $2n + 6$ y está delimitada por $0$ . Por regla general, las integrales de la forma $$ \int_0^\infty \frac{1}{(1 + x)^n}dx$$ convergen para $n > 1$ y divergen para $n \leq 1$ . Su integral se parece a esta integral, pero con $n = 7$ . Así que converge. Puedes hacer este argumento más formal a través de la comparación de límites, si es algo con lo que estás familiarizado.

Answer 2

Por equivalentes: $$\frac{x^{2\;n - 1}}{(x^2 + 1)^{n + 3}}\sim_{\infty}\frac{x^{2\;n - 1}}{x^{2(n + 3)}}=\frac1{x^7}$$ y esta última es convergente ya que el exponente de $x$ en el denominador es $>1$ .

Answer 3

La comparación ingenua simplemente eliminaría el $1$ en el denominador, pero el resultado no está acotado, mientras que su integrando es limitado. Para solucionarlo, mantenga el $1$ digamos, $[0,1]$ y, a continuación, suéltelo en $[1,\infty)$ . El efecto es que el $[0,1]$ el integrando está acotado mientras que en $[1,\infty)$ el integrando está acotado, y en particular acotado por $Cx^{-7}$ para algunos $C>0$ .

Answer 4

Configuración $x=\tan(t)$ obtenemos $$\dfrac{x^{2n-1}}{\left(x^2+1\right)^{n+3}} = \dfrac{\tan^{2n-1}(t)}{\sec^{2n+6}(t)} = \sin^{2n-1}(t)\cos^7(t)$$ Por lo tanto, tenemos $$\int_0^{\infty}\dfrac{x^{2n-1}}{\left(x^2+1\right)^{n+3}} dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1}(t)\cos^5(t)dt$$ que claramente existe, ya que el integrando es continuo y acotado en $[0,\pi/2]$ .

Además, qué mejor manera de demostrar la convergencia que evaluando la integral. La integral puede evaluarse fácilmente utilizando la función identidad aquí y la definición del $\beta$ función. Tenemos $$\beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}(t)\cos^{2y-1}(t)dt$$ que nos da que $$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1}(t)\cos^5(t)dt = \dfrac{\beta(n,4)}2 = \dfrac{\Gamma(n)\Gamma(3)}{2\Gamma(n+3)} = \dfrac1{(n+2)(n+1)n}$$