Pregunta básica sobre el Ideal de Correspondencia de la Variedad y Adjoint Functors

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. El ideal-correspondencia de la variedad dice que las ecuaciones \begin{align} \mathbf{I}(X) &= \left\{f\in k[x_1,\dotsc,x_n]:p\in X\Rightarrow f(p)=0\right\} \\ \mathbf{Z}(S) &= \left\{p\in \mathbb{A}^n_k:f\in S\Rightarrow f(p)=0\right\} \end{align} definir inversa functors \begin{align} \mathbf{I} &: \mathrm{cl}\left(\mathbb{A}^n_k\right)^{\mathrm{op}}\rightarrow\sqrt{k[x_1,\dotsc,x_n]} \\ \mathbf{Z} &: \sqrt{k[x_1,\dotsc,x_n]}\rightarrow\mathrm{cl}\left(\mathbb{A}^n_k\right)^{\mathrm{op}}. \end{align} Aquí, $\mathrm{cl}\left(\mathbb{A}^n_k\right)$ denota la colección de subconjuntos algebraicos de $\mathbb{A}^n_k$ visto como una subcategoría de la poset $\cal{P}\left(\mathbb{A}^n_k\right)$ (el juego de poder de $\mathbb{A}^n_k$). Del mismo modo, $\sqrt{k[x_1,\dotsc,x_n]}$ denota la colección de radicales ideales de $k[x_1,\dotsc,x_n]$ visto como una subcategoría de la poset $\cal{P}(k[x_1,\dotsc,x_n])$.

Ahora, obviamente $\mathbf{I}$ $\mathbf{Z}$ extender a functors \begin{align} \mathbf{I}&:\cal{P}\left(\mathbb{A}^n_k\right)^{\mathrm{op}}\rightarrow\cal{P}(k[x_1,\dotsc,x_n]) \\ \mathbf{Z}&:\cal{P}(k[x_1,\dotsc,x_n])\rightarrow\cal{P}\left(\mathbb{A}^n_k\right)^{\mathrm{op}}. \end{align} Por supuesto, estos functors no son inversos el uno del otro después de la extensión. Me gustaría saber qué podemos decir acerca de estos extendido functors. Específicamente:

1. Se $\mathbf{I}$ $\mathbf{Z}$ adjoint functors?
2. Si $\mathbf{I}$ $\mathbf{Z}$ son adjunto, entonces la forma general podemos hacer que la situación? Siendo adjoint si $k$ es sólo supone un anillo conmutativo?

Desde $S\subseteq\mathbf{I}(X)$ si y sólo si $X\subseteq\mathbf{Z}(S)$ me siento inclinado a decir que $\mathbf{I}$ que queda adjunto a $\mathbf{Z}$ y sólo asumiendo $k$ a un anillo conmutativo no parece alterar la situación, pero quiero asegurarme de que no estoy cometiendo un error.

Answer 1

Sí, son adjuntos. Muy general, si se tienen dos conjuntos de $A$ $B$ y una relación binaria entre ellos, decir $R\subseteq A\times B$, luego de recibir un par de contravariante functors adjunto a la derecha, entre los conjuntos parcialmente ordenados $\mathcal P(A)$ $\mathcal P(B)$ por el envío de $X\subseteq A$ $\{b\in B:(\forall x\in X)\,(x,b)\in R\}$y el envío de $Y\subseteq B$$\{a\in A:(\forall y\in Y)\,(a,y)\in R\}$. En su situación, $A$ es el espacio afín, $B$ es el polinomio de anillo, y $R=\{(p,f)\in A\times B:f(p)=0\}$.