Normal y central subgrupos finitos $p$-grupos

Question

Supongamos $G$ es un grupo donde $|G| = p^k$ donde $p$ es un primer e $k\gt 0$. Demostrar que

1. $|Z(G)| \gt 1$; y
2. Si $N$ es un subgrupo normal de $G$ orden $p$, $N$ está contenido en $Z(G)$.

Answer 1

Para el 1, el uso de la Clase Ecuación.

2, el uso de la Clase Ecuación (si $N$ es normal, entonces debe ser una unión de conjugacy clases; clases conjugacy han pedido $1$, o el fin de un poder de $p$; pero $N$ contiene al menos una clase conjugacy de orden $1$, por lo tanto...)

Answer 2

He aquí la manera en que me gustaría pensar en ello, pero podría ser simplemente una reformulación de lo que ya ha sido dicho. El uso de la órbita estabilizador teorema se puede demostrar que si $G$ es finita $p$-grupo que actúa sobre un conjunto finito $X$ $\#(X^G)\equiv \#(X)\text{ mod }p$ donde $X^G$ denota el conjunto de $\{x\in X:gx=x\text{ for all }g\in G\}$ de los puntos fijos.

Por lo tanto, vamos a $G$ ser finito $p$- $N\unlhd G$ ser trivial. Deje $G$ actuar en $N$ por conjugación. Por lo anterior, podemos ver que $\#(N^G)\equiv |N|\text{ mod }p$. Pero, puesto que el $p\mid |N|$ (ya que es un subgrupo no trivial de un número finito de $p$-grupo) esto implica que $p\mid \#(N^G)$. Pero, escribir y ver que $N^G=N\cap Z(G)$, por lo que esto prueba de que $p\mid |N\cap Z(G)|$ para cualquier no-trivial normal subgrupo $N$$G$, y así, en particular, $N\cap Z(G)$ es trivial. Tomando $N=Z(G)$ da 1. inmediatamente. También da a 2. con un poco de pensamiento, ya que sabemos que $p\mid |N\cap Z(G)|$ $|N\cap Z(G)|\leqslant p$ debemos tener ese $|N\cap Z(G)|=p$, por lo que claramente $N\cap Z(G)=N$$N\subseteq Z(G)$.

Answer 3

Esto se desprende directamente de la clase de ecuación. Puesto que el orden de $G$ es una fuente primaria de energía, en todas sus clases conjugacy son de primer poder de la orden. Recuerda que el centro del grupo se compone de las singleton clases conjugacy (las clases de tamaño de $1$). Si el centro era trivial, la clase ecuación sería $1$ más positiva primer poderes. Así tendríamos $1+p(\mathrm{something})=p^k$. Esto implica que $1=0$ mod $p$ (contradicción). Por lo tanto, el centro debe contener más de un elemento.

Por una línea similar de razonamiento, un subgrupo normal se compone de la totalidad de las clases conjugacy unen juntos (desde $N$ es cerrado bajo la conjugación, si parte de una clase conjugacy es en $N$, a continuación, toda la clase debe estar en $N$). Desde conjugacy clases de potencia principal cardnalities, la identidad es, en $N$ (cuya clase de tamaño 1), y $|N|=p$, tenemos que el resto de clases son los principales poderes menor que $p$. Por lo tanto $N$ es la unión de las clases de tamaño 1. Estos son precisamente los elementos del centro.