Deje $E$ ser una curva elíptica con un 3-torsión en el punto de $P$$G = \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$. Deje $X = \{O, P, -P\}$ donde $O$ es el punto en el infinito y $X$ $G$- módulo. ¿Por qué $H^{1}(G, X)$ inyectar en $\operatorname{Sel}_{3}(E/\mathbb{Q})$?
Respuesta
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No (siempre)!
Ni se le espera. Suponga $X$ $G_{\mathbb{Q}}$ estable. A continuación, en general, el grupo de $H^1(\mathbb{Q},X)$ va a ser infinito, mientras que la selmer grupo $Sel_{3}(E/\mathbb{Q})$ finito.
Más aún, ni siquiera puede ser el caso de $H^1(\mathbb{Q},X)$ inyecta en $H^1(\mathbb{Q},E[3]).$ he Aquí un ejemplo:
Considere la curva $E$ $y^2 +xy + y = x^3 -171x -874.$ Uno comprueba que $E[3]$ tiene de tres a $\mathbb{Q}(\mu_3)$-puntos y un $\mathbb{Q}$-punto. Por lo tanto, si vamos a $X$ ser el subgrupo de $E[3]$ consiste en estos $\mathbb{Q}(\mu_3)$-puntos de $X$ es de Galois estable y $G_\mathbb{Q}$ actúa en $X$ a través de la trivial carácter de $Gal(\mathbb{Q(\mu_3)}/\mathbb{Q}).$ Se sigue que $X \cong \mu_3$ como un módulo de Galois.
Debido a $E[3]$ es reducible con un estable en una dimensión del subespacio $X,$ tenemos $E[3]$ es una extensión de un carácter $\chi$ $X \cong \mu_3.$ Por el weil emparejamiento $\chi \otimes X = \chi \otimes \mu_3 = \mu_3$ y, por tanto, $\chi$ es el carácter trivial.
A partir de la breve secuencia exacta $$0\rightarrow X \rightarrow E[3] \rightarrow \chi\rightarrow 0,$$ se obtiene la secuencia exacta
$$E[3](\mathbb{Q}) \rightarrow \mathbb{F}_3 \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, X) \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, E[3]).$$
Y desde $E[3](\mathbb{Q}) = 0,$ se deduce que el mapa de $H^1(\mathbb{Q}, X) \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, E[3])$ no es inyectiva.
(Por el contrario, se observa que la si $H^1(\mathbb{Q}, X) \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, E[3])$ no es inyectiva, a continuación, $E[3]$ debe ser un nonsplit extensión del carácter trivial por $\mu_3.)$
El problema es la incongruencia en su pregunta. Se ha asumido muchas de las condiciones locales en el $Sel_3(E/\mathbb{Q})$ pero ninguno en $H^1(\mathbb{Q},X).$ ¿cuáles son las condiciones locales, se podría considerar para cocylces en $H^1(\mathbb{Q},X)?$
Bien, recordemos que podemos adjuntar un selmer grupo a cualquier $\mathbb{Q}$-isogeny entre curvas elípticas. Por ejemplo, $Sel_3(E/\mathbb{Q})$ es la selmer grupo adjunta a la multiplicación por $3$-isogeny. Hay una natural isogeny conectado a $X,$ es decir, el mapa de proyección $\psi_X: E \rightarrow E/X,$ y debido a $X$ es de Galois estable $\psi_X$ se define sobre $\mathbb{Q}.$ definimos la Selmer grupo adjunta a $\psi := \psi_X$ como el núcleo
$$Sel^{\psi}(E/\mathbb{Q}) := \ker(H^1(\mathbb{Q},X) \rightarrow \prod_p H^1( \mathbb{Q}_p,E)).$$
Ya que la multiplicación por $3$ factores a través de $X,$ (o más bien debido a la $X \subset E[3]$), tenemos un mapa de $ Sel^{\psi}(E/\mathbb{Q}) \rightarrow Sel_3(E/\mathbb{Q})$ inducida por el mapa $X \rightarrow E[3].$ Uno fácilmente se comprueba que el mapa
$$H^1(\mathbb{Q},X) \rightarrow \prod_p H^1( \mathbb{Q}_p,E)$$
factores a través de
$$H^1(\mathbb{Q},E[3]) \rightarrow \prod_p H^1( \mathbb{Q}_p,E)$$
y, por tanto, $ Sel^{\psi}(E/\mathbb{Q}) \rightarrow Sel_3(E/\mathbb{Q})$ es inyectiva cuando $H^1(\mathbb{Q}, X) \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, E[3])$ es inyectiva.
¿Qué pasa cuando se $H^1(\mathbb{Q}, X) \rightarrow H^1(\mathbb{Q}, E[3])$ no es inyectiva es decir, cuando se $X \cong \mu_3$ $E[3]$ es un nonsplit extensión de la representación trivial por $X?$ Aquí uno ve usando el argumento anterior de que el mapa entre selmer grupos que todavía tiene un 1 dimensiones del núcleo. Oh, bueno.
