La resolución de $y'' - y = 0$

Question

Estoy attemtping para solucionar $y'' - y = 0$

He venido a esta solución, mediante el uso de algo como $\frac{dy}{dx} = p$

Por lo que hace $\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} - y = 0$

Lo que da $\frac{dp}{dy} \cdot p = y$

Después de todas las transformaciones, la integración y a todos, termino con esta expresión!

$c_{1}e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + c_{2}}$

wow... ¿Cómo se supone que voy, a partir de ahí, para obtener la solución que se esperaba, es decir, $y(x) = c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}$

(Nota c1 y c2 son ajenos a la otra ecuación)

Me ayudan por favor... de verdad.

Gracias

Answer 1

A partir de $c_1e^x= y+\sqrt{y^2+c_2}$:

$$c_1e^x -y= \sqrt{y^2+c_2}$$ Tomando cuadrada de ambos lados

$$c_1e^{2x} + y^2 - 2c_1e^xy = y^2 + c_2$$ Finalmente se trata de $$y = \frac{c_1^2e^{2x} + c_2}{2c_1e^x}$$

Y no es la solución.

Answer 2

General de la sugerencia:

Asumir su solución de $y(x)$ tiene una forma general como $e^{mx}$ algunos $m$. Por lo tanto, establece $y=e^{mx}$ y, a continuación, satisfacer en la ODA a encontrar el probable valor de $m$. Tenga en cuenta que el principio de superposición nos ayudará a encontrar la solución general de esta ODA.

Answer 3

Una manera sería , vamos $$\displaystyle \frac{d}{dx}y(x) + y(x) = g(x) \hspace{1cm} (1) \\ \displaystyle \frac{d}{dx}g(x) - g(x) = 0 \hspace{1cm} (2) $$ primera solucionar $(2)$ $g(x)$ y, a continuación, poner su valor en $(1)$ y solucionar $y(x)$ en el primer orden de la ecuación.

La ecuación de $(2)$ da $\displaystyle g(x) = c_1 e^{x}$ y la Ecuación de $(2)$ da $\displaystyle y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$. También le da una idea de que la solución será de la forma $y(x)=e^{\lambda x}$.

La idea es representar la ecuación en términos de operador. es decir,$(D^2 -1) y(x) = 0$. A continuación,$(D^2 - 1)y = (D-1)(D+1)y$, vamos a $(D+1)y = g(x)$, entonces usted tiene $(D-1)g(x) = 0$ y resolver como el de arriba.

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con su método tendrás: $y' = p$ $p' = y$ que es equivalente a $$ {y' \elegir p'} = \overbrace{\pars{\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}}}^{\ds{A}}{y \elegir p}\quad\imp\quad{y \elegir p} = \expo{Ax}{y_{0} \elegir p_{0}} $$ $\ds{A^{2} = \overbrace{\pars{\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}}}^{\ds{I}}.\quad}$ $\ds{\pars{\expo{Ax}}' = A\expo{Ax}}$ $\ds{\pars{\expo{Ax}}'' = \expo{Ax}}$, tendremos: $$ \expo{Ax} = \cosh\pars{x} + \sinh\pars{x}Un = \pars{% \begin{array}{cc} \cosh\pars{x} & \sinh\pars{x} \\ \sinh\pars{x} & \cosh\pars{x} \end{array}} $$ $$\color{#0000ff}{\large% y = y_{0}\cosh\pars{x} + p_{0}\sinh\pars{x} = \overbrace{\media\pars{y_{0} + p_{0}}}^{\ds{\equiv\ c_{1}}}\expo{x} + \overbrace{\media\pars{y_{0} - p_{0}}}^{\ds{\equiv\ c_{2}}}\expo{-x}} $$