Cómo

Question

Me pregunto cómo expresar $\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt[4]{\frac{3}4}-\sqrt[4]{\frac{1}{4}}}$ a $\frac{1}{2}\sqrt{5+3\sqrt{3}+2\sqrt{12+7\sqrt{3}}}$ (Esto es tomado de Wolfram BTW)

Claramente, $\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt[4]{\frac{3}4}-\sqrt[4]{\frac{1}{4}}}$ puede ser reescrita como $\frac{1}{2(\sqrt[4]{\frac{3}{4}}-\sqrt[4]{\frac{1}{4}})}$, pero ¿qué debo hacer a continuación?

Soy un poco inexperto en la manipulación de surds, por lo que algunas ayudas son muy apreciados

Gracias!

Answer 1

Comenzar sin irrelevante $1/2$ y tenga en cuenta que $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$, por lo que: $$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{3}{4}}-\sqrt[4]{\frac{1}{4}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3} -1}.$$ Now try to rationalize the denominator in the standard fashion (using $(x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2$) by multiplying with $\frac{\sqrt[4]{3}+1}{\sqrt[4]{3}+1}$ para obtener

$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3} -1}\cdot\frac{\sqrt[4]{3}+1}{\sqrt[4]{3}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt[4]{3}+1)}{\sqrt{3} -1}.$$

Que nos lleva a la mitad del camino a un denominador racionalizado, para terminar el trabajo multiplicando con $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$:

$$\frac{\sqrt{2}(\sqrt[4]{3}+1)}{\sqrt{3} -1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt[4]{3}+1)}{2}.$$

Ahora que tenemos un denominador racional, la idea básica es volver a escribir el numerador como la raíz cuadrada del cuadrado de su valor anterior, ampliar las plazas, combinar los términos y ver dónde estamos:

$$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt[4]{3}+1)}{2} = \sqrt{\frac{2}{4}(\sqrt{3}+1)^2 (\sqrt[4]{3}+1)^2} = \sqrt{\frac{2}{4}(3+2\sqrt{3}+1)(\sqrt{3} +2\sqrt[4]{3}+1)} = \sqrt{\frac{2}{4}(10+6\sqrt{3} +4(2+\sqrt{3})\sqrt[4]{3})} = \sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2(2+\sqrt{3})\sqrt[4]{3}}.$$

Se puede ver que ya tenemos parte de la respuesta. Podemos usar el mismo truco de sacar la raíz cuadrada de la plaza (por lo que lo deja todo igual) una vez más en el último plazo para deshacerse de los molestos raíz cuarta. Nosotros, a continuación, expanda la plaza y recoger los términos como de costumbre:

$$\sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2(2+\sqrt{3})\sqrt[4]{3}} = \sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})^2\sqrt{3}}}= \sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{(4+4\sqrt{3} +3)\sqrt{3}}}= \sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{4\sqrt{3} +12 +3\sqrt{3}}} = \sqrt{5 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{12 +7\sqrt{3}}}.$$

Answer 2

Tenemos que demostrar que $$(\sqrt[4]3-1)^2(5+3\sqrt3+2\sqrt[4]3(2+\sqrt3))=2$$ o $$2(5+3\sqrt3+2\sqrt[4]3(2+\sqrt3))=(1+\sqrt[4]3+\sqrt3+\sqrt[4]{27})^2,$$ lo que es evidente después de la plena expansión.

Answer 3

Usted probablemente tendrá que usar la identidad: $$\dfrac{1}{x-y} = \dfrac{(x+y)(x^2+y^2)}{x^4-y^4} = \dfrac{x^3+xy^2+x^2y+y^3}{x^4-y^4}$$