Probabilidad de que un triángulo delaunay contenga el centro de su circunferencia

Question

Una triangulación de Delaunay para un conjunto P dado de puntos discretos en un plano es una triangulación DT(P) tal que ningún punto de P está dentro de la circunferencia de ningún triángulo de DT(P). https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

En la triangulación de Delaunay de un proceso puntual de Poisson en el plano, la probabilidad de que un triángulo contenga el centro de su circunferencia es ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process

Sé a ciencia cierta que no es $\frac{1}{4}$ que es la probabilidad de que el centro del círculo esté contenido en el triángulo formado por tres puntos aleatorios del círculo. Encuentro esto problemático, no sé cómo cambia la probabilidad de $\frac{1}{4}$ para la probabilidad del triángulo de Delaunay.

Answer 1

En este caso, los puntos no se eligen uniformemente en una circunferencia, sino en el plano. Además, están condicionados a ser triángulos de Delaunay, pero en realidad eso no cambia su distribución angular porque la probabilidad de que cualquier triángulo dado en el proceso de puntos de Poisson sea un triángulo de Delaunay depende sólo del área de la circunferencia y no de los ángulos.

Las respuestas a la pregunta Distribución de las formas de los triángulos de Delaunay contienen la distribución angular requerida; su densidad es proporcional a

$$ \sin(\theta_2-\theta_1)+\sin(\theta_3-\theta_2)+\sin(\theta_1-\theta_3)\;, $$

donde el $\theta_1$ son los ángulos de los tres puntos vistos desde el centro de la circunferencia. Sin pérdida de generalidad podemos establecer $\theta_3=0$ . Entonces la probabilidad de que $\theta_2\le\pi$ y, por tanto $2\pi-\theta_2\gt\pi$ para que el triángulo sea obtuso y no contenga el centro de su circunferencia, es

$$ \frac{\int_0^\pi\mathrm d\theta_1\int_{\theta_1}^\pi\mathrm d\theta_2\left(\sin(\theta_2-\theta_1)-\sin\theta_2+\sin\theta_1\right)}{\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta_1\int_{\theta_1}^{2\pi}\mathrm d\theta_2\left(\sin(\theta_2-\theta_1)-\sin\theta_2+\sin\theta_1\right)}=\frac\pi{6\pi}=\frac16\;. $$

Los otros dos ángulos tienen la misma probabilidad de ser obtusos (por simetría), y como máximo un ángulo puede ser obtuso, por lo que la probabilidad de que el triángulo sea obtuso es sólo tres veces la probabilidad de que un ángulo sea obtuso, es decir, $\frac12$ .

Como el resultado es bastante bonito, es muy posible que haya un argumento de simetría más elegante para derivarlo.

Obsérvese que éste es el resultado en el caso en que elegimos uniformemente al azar uno de los triángulos de Delaunay, es decir, cuando todos los triángulos son equiprobables. (Estoy pasando por alto las cuestiones de cómo definir esto en un plano infinito; eso se puede hacer de forma más rigurosa pero sin cambiar la respuesta ni aportar nada). Si, por el contrario, elegimos un triángulo eligiendo uniformemente al azar un punto (o, equivalentemente, puesto que el proceso puntual de Poisson es invariante bajo traslaciones, tomando el origen) y elegimos el triángulo que contiene ese punto, entonces ponderamos los triángulos por área, y, como explico en mi respuesta a la pregunta enlazada arriba, volvemos a obtener el mismo factor jacobiano para la densidad, de modo que la densidad angular en este caso es el cuadrado de la anterior, y la probabilidad de que un ángulo sea obtuso es

$$ \frac{\int_0^\pi\mathrm d\theta_1\int_{\theta_1}^\pi\mathrm d\theta_2\left(\sin(\theta_2-\theta_1)-\sin\theta_2+\sin\theta_1\right)^2}{\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta_1\int_{\theta_1}^{2\pi}\mathrm d\theta_2\left(\sin(\theta_2-\theta_1)-\sin\theta_2+\sin\theta_1\right)^2}=\frac{\frac{3\pi^2}4-4}{3\pi^2}=\frac14-\frac4{3\pi^2}\;, $$

por lo que en este caso la probabilidad de que el triángulo sea obtuso es sólo de $\frac34-\frac4{\pi^2}\approx0.3447$ lo que tiene sentido ya que, para un radio dado de la circunferencia, los triángulos obtusos tienden a tener menos área que los triángulos agudos. Esto se puede ver al observar una instanciación del proceso:

A primera vista (al menos para mí), parece que la mayoría de los triángulos son agudos, porque el ojo se dirige hacia los más grandes, pero si se mira más de cerca, se descubre que muchos de los más pequeños son obtusos.

Answer 2

No creo que entiendas lo que se afirmó en clase (o, tal vez, que tu profesor esté diciendo cosas falsas).

Si miras la imagen de la página de wikipedia que muestra un $11$ -triángulo DT, se puede contar el número de centros que hay en el triángulo asociado --- resulta que $7$ de ellos lo son. Así que la probabilidad, para un triángulo seleccionado al azar, de que contenga su centro delaunay (para este ejemplo de triangulación al menos) es $7/11$ no $1/2$ . O el profesor se ha equivocado o ha querido decir algo distinto de lo que tú has entendido.