$f: \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ holomorfo, $f(\frac{1}{2}) + f(-\frac{1}{2}) = 0$ . Prueba $|f(0)| \leq \frac{1}{4}$

Question

Este es el problema con el que estoy teniendo problemas:

Dejemos que $f: \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ sea una función holomorfa con $f(\frac{1}{2}) + f(-\frac{1}{2}) = 0$ . Prueba $|f(0)|\leq \frac{1}{4}$ .

Sospecho que de alguna manera tengo que utilizar alguna variante del lema de Schwarz.

Aquí está mi intento:

Definir $h(z) = \frac{f(z) + f(-z)}{2}$ . Entonces, $h(0) = f(0)$ y $h(-\frac{1}{2}) = h(\frac{1}{2}) = 0$ . También, $h:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ es holomorfo, y $h(0) = f(0)$ . Por el lema de Schwarz-Pick, tenemos $$|\frac{h(\frac{1}{2}) - h(0)}{1-\overline{h(0)}h(\frac{1}{2})}| \leq |\frac{\frac{1}{2}-0}{1-\overline{0}\cdot \frac{1}{2}}|.$$

Esto muestra $|h(0)| = |f(0)| \leq \frac{1}{2}$ Sin embargo, no muestra lo que necesito. ¿Hay alguna manera de mejorar la desigualdad y obtener el resultado deseado?

Answer 1

$h \colon \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ es holomorfa y tiene ceros en $\frac{1}{2}$ y $-\frac{1}{2}$ . Lo mismo ocurre con $$g \colon z \mapsto \frac{z-\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}z}\cdot \frac{z + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}z} = \frac{4z^2-1}{4-z^2}\,.$$ Además, tenemos $\lvert g(z)\rvert = 1$ para $\lvert z\rvert = 1$ y $g$ no tiene más ceros que los ceros simples en $\pm \frac{1}{2}$ . De ello se desprende que $q \colon \mathbb{D} \to \overline{\mathbb{D}}$ es holomorfo, donde $$q \colon z \mapsto \frac{h(z)}{g(z)}\,.$$ En particular, tenemos

$$1 \geqslant \lvert q(0)\rvert = \biggl\lvert \frac{h(0)}{g(0)}\biggr\rvert = 4\lvert f(0)\rvert\,.$$