Demostrar que si $H$ es un subgrupo de $G$, entonces la identidad $e$ $G$ $H$.

Question

Estoy un poco atascado en la comprensión de la lógica a esta prueba que he encontrado.

Demostrar que si $H$ es un subgrupo de $G$, entonces la identidad $e$ $G$ $H$.

$H$ Es un subgrupo, debe tener una identidad $e{H}$. Tenga en cuenta que $e{H}\circ e{H}=e{H}$ y $e\circ e{H}=e{H}\circ e=e{H}$. Entonces $e{H}\circ e{H}=e\circ e{H}$. Entonces $e{H}\circ e{H}\circ e=e\circ e{H}\circ e$. Entonces $e{H}=e$.

La última parte que no entiendo. Entiendo que el primer lado de la ecuación se convierte en $e{H}$, pero ¿por qué $e\circ e{H}\circ e=e$?

Answer 1

No entiendo la lógica en el último paso. Pero, en cualquier caso, parece demasiado complicado.

En cualquier grupo, si $b^2=b$, entonces el $b=e$. Esto sigue aplicando simplemente $b^{-1}$ a la igualdad: tiene $b^{-1}b^2=b^{-1}b$, $b=e$.