el límite de los coeficientes de la serie de fourier de

Question

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fourier_transform_of_a_generalized_function

Para un periódico generalizada de la función $f$, veo desde el enlace que $$f(x) = \sum_{|k|=0}^\infty c_k(f)e ^{i<kw,x>}, ~| c_k(f)|\le A \frac{1}{(1+k)^m}.$$

Sin embargo, la definición o descripción de $m$ $A$ no se les da...alguien me Puede ayudar un poco en esto? Explicar un poco a mí. En realidad, si uno puede proporcionar una referencia, va a ser muy agradable (no necesariamente generalizada funciones, pero sólo con funciones de una variable).

Estoy pensando en una pregunta. Este resultado podría ser de alguna ayuda.

Answer 1

En realidad, aquí $m$ es un entero no negativo, dependiendo de la generalización de la función, y la fórmula correcta es $$|c_k(f)|\le A(1+|k|)^m,\ \ \ \ (*)$$ donde $k=(k_1,...,k_n)$ es un vector de enteros, $|k|:=|k_1|+...+|k_n|$ $A$ es finita y constante positiva dependiendo de la generalización de la función. El resultado, básicamente, establece que los coeficientes de Fourier de una generalización de las funciones se pueden cultivar en la mayoría de los exponencialmente en k.

Para una lúcida discusión de este tema en una variable, véase: Alberto Torchinsky, Real de la Variable de Métodos en el Análisis Armónico, capítulo 1, párrafo 4, Teorema 4.5.

Edit: con el fin de mantener las cosas simples, asumir que la dimensión es $1$. Una más simétrica caracterización de lo que da de $(*)$ sería: $$\sum_{k\in\mathbb{Z}}(1+|k|)^{-2M}|c_k(f)|^2<+\infty.\ (**)$$ Como se puede mostrar, $(*)$ es cierto para algunos $A>0$ $m\in\mathbb{N}$ si y sólo si $(**)$ es cierto para algunos $M\in\mathbb{N}$. El aumento en el uso de $(**)$ en lugar de $(*)$ es que al menos $M\in\mathbb{N}$ tal que $(**)$ mantiene, también te ofrece el mayor espacio de Sobolev $H^M(\mathbb{T})$ donde se puede extender por la continuidad de su generalizada de la función (al principio se define sólo en $C^\infty(\mathbb{T})$). Usted puede también permite entero negativo los valores de $M$$(**)$. En este caso, es decir, si $N\ge0$ es un número entero y si $(**)$ mantiene con $M=-N$, se puede demostrar que su distribución es la que representa (por integral de emparejamiento) por un elemento de a $H^N({\mathbb{T}})$. Finalmente, $(**)$ es válido para todos los $M\in\mathbb{Z}$, si y sólo si su distribución es representado por un $C^\infty(\mathbb{T})$ función. Así que, básicamente, el menos $M\in\mathbb{Z}$ tal que $(**)$ es cierto es una medida de la regularidad de su generalizada de la función: más pequeño significa más regular (una declaración similar también es cierto para $m$$(*)$, pero en menos nitid manera).

Editar editar: algunos ejemplos.

• La Dirac $\delta :C^\infty(\mathbb{T})\rightarrow\mathbb{C}, \varphi\mapsto \varphi(0)$ es tal que $\forall k\in\mathbb{Z}, c_k(\delta)=1$ (aquí, como en los siguientes ejemplos, la constante de la realidad, depende de la constante de normalización que usted ha elegido en la definición de la transformada de Fourier, así que tal vez usted ha visto a ese $\forall k\in\mathbb{Z}, c_k(\delta)=\frac{1}{2\pi}$). A continuación, $(**)$ es cierto con $M=1$, pero no con $M=0$. A continuación, el mayor espacio de Sobolev $H^M(\mathbb{T})$ donde se puede extender $\delta$$H^1(\mathbb{T})$, lo que significa que usted no puede extender continuamente $\delta$$H^0(\mathbb{T})=L^2(\mathbb{T})$. Observe sin embargo que $\delta$ puede ser extendida de forma continua a toda la $C^0(\mathbb{T})$$H^1(\mathbb{T})\subset C^0(\mathbb{T})\subset L^2(\mathbb{T})$. El punto es que $C^0(\mathbb{T})$ no es uno de los espacios de Sobolev en la escala de los espacios de $H^m(\mathbb{T})$ cualquier $m\in\mathbb{Z}$. En otras palabras, la caracterización de las $(**)$ no le dice que $H^M(\mathbb{T})$ es el mayor espacio de Banach donde usted puede extender su distribución continuamente, sino sólo que es el más grande espacio de Sobolev de la forma $H^M(\mathbb{T})$ algunos $M\in\mathbb{Z}$. También, observe que al menos $m\in\mathbb{N}$ tal que $(*)$ mantiene es $m=0$.
• La derivada de la Dirac, es decir, $\delta':C^\infty(\mathbb{T})\rightarrow\mathbb{C}, \varphi\mapsto- \varphi'(0)$ es tal que $\forall k\in\mathbb{Z}, c_k(\delta')=ik$. A continuación, $(**)$ es cierto con $M=2$, pero no con $M=1$. De manera que la mayor Sobolev $H^M(\mathbb{T})$ donde se puede extender $\delta'$$H^2(\mathbb{T})$, lo que significa que usted no puede extender $\delta'$ continuamente a toda la $H^1(\mathbb{T})$. Observe que la derivada se lleva un "grado" de la regularidad de su distribución. Aquí de nuevo se puede ampliar la distribución continuamente a toda la $C^1(\mathbb{T})$$H^2(\mathbb{T})\subset C^1(\mathbb{T})\subset H^1(\mathbb{T})$. Observe que al menos $m\in\mathbb{N}$ tal que $(*)$ mantiene es $m=1$... así que, por estos dos últimos ejemplos, usted puede preguntarse que, si $m\in\mathbb{N}$ es el menor entero tal que $(*)$ se mantiene, entonces su distribución puede ser ampliado continuamente a toda la $C^m(\mathbb{T})$, pero:
• El principal valor de la distribución de $f : C^\infty(\mathbb{T})\rightarrow\mathbb{C}, \varphi \mapsto \lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}\backslash[-\varepsilon,\varepsilon]}\varphi(t)\cot(\frac{t}{2})\operatorname{d}t$ es tal que $\forall k\in\mathbb{Z}, c_k(f)=-i \operatorname{sgn}(k)$. Así que, de nuevo, dándose cuenta de que $(**)$ es cierto con $M=1$, pero no con $M=0$, se puede extender $f$ continuamente a la Sobolev $H^1(\mathbb{T})$, pero no a $L^2(\mathbb{T})$. Sin embargo, observe que el menos $m\in\mathbb{N}$ tal que $(*)$ mantiene es $m=0$, pero esta vez no existe una extensión continua de $f$ para el conjunto de la $C^0(\mathbb{T})$. Entonces, la conjetura de hecho en el ejemplo anterior, simplemente no es cierto. Este es un istance de a lo que me refería cuando dije que $(**)$ es "más simétrico", a continuación,$(*)$.