¿Hay algunas técnicas que pueden utilizarse para mostrar que una suma "no tiene una forma cerrada"?

Question

Soy consciente de que hay algunas técnicas que se pueden utilizar para mostrar que la función no tiene una antiderivada se puede expresar mediante funciones elementales, tales como el teorema de Liouville. (En general, este cae en la zona de los diferenciales de la teoría de Galois diferencial y álgebra. Tales temas fueron discutidos en este sitio web, por ejemplo, aquí o aquí.

Hay algunos resultados análogos para finito de sumas? Más precisamente, supongamos que tenemos una suma $$s(n)=\sum_{k=1}^n f(k)$$ where $f$ is a given elemantary function. Are there some methods which can be used to show that $s(n)$ is not equal to an elementary function (restricted to $\mathbb N$)?

Para dar un ejemplo concreto, tomemos $f(n)=\frac1n$. Hay algunos métodos que pueden ser usados para mostrar que no podemos expresar el $n$-el número armónico $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ $H_n=s(n)$ para la primaria función de $s(x)$? (Y es el resultado de armónica de los números se conoce aún?)

EDIT: Muy poco después de la publicación de esta pregunta he encontrado esto: ¿armónica de los números tienen una "forma cerrada" expresión?

Lo que sin duda responde a la segunda parte acerca de la armónica de los números. (Gerry Myerson la respuesta menciona también otras sumas de dinero, no sólo a $H_n$. Así que sin duda puede ser considerado como una respuesta para esta pregunta, también. Vamos a ver si alguien va a publicar algunas adicionales de información interesante como una respuesta a esta pregunta.)

Answer 1

Una fuente de información acerca de este tema es el libro de $A= B$ por M. Petkovsek, H. Wilf y D. Zeilberger.

En la sección 5.6 podemos leer la siguiente

Pregunta 1: Dado un hipergeométrica plazo$t_n$, ¿cómo podemos decidir si la suma \begin{align*} s_n=\sum_{k=0}^{n}t_k \end{align*} se pueden expresar como una combinación lineal de varias (pero un número fijo de) hipergeométrica términos? Por ejemplo, desde la $k!$ no es Gosper-summable sabemos que la suma \begin{align*} \sum_{k=0}^nk! \end{align*} no puede ser expresado como una hipergeométrica plazo, además de una constante.

Un par de secciones más adelante podemos leer sobre el algoritmo de Hyper, que se puede encontrar un sistema generador del espacio de soluciones de forma cerrada (proporcionado algunas de las condiciones se cumplen). Pero, si devuelve el $\emptyset$ en lugar de ello, se demuestra de esta manera, que dada la recurrencia con coeficientes polinomiales no tiene una forma cerrada de la solución. De esta manera, son capaces de demostrar que muchos bien conocidos de la combinatoria de las secuencias no se puede expresar en forma cerrada.

En la sección 8

Teorema de 8.8.1: en Las siguientes secuencias no se puede expresar en forma cerrada. Es decir, en cada caso, la secuencia no puede ser expuesto como suma de un fijo (independiente de $n$) número de hipergeométrica términos:

• La suma de los cubos de los coeficientes binomiales de orden $n$, es decir, $\sum_k\binom{n}{k}^3$.

• El número de alteraciones (punto fijo gratis permutaciones) de $n$ letras.

• La central trinomio coeficiente, es decir, el coeficiente de $x^n$ en la expansión de $(1+x+x^2)^n$.

• El número de involuciones de $n$ letras, es decir, el número de permutaciones de $n$ letras cuyo cuadrado es la identidad de permutación.

• La suma del primer tercio de los coeficientes binomiales, es decir, $\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}$.