¿Es mensurable la gráfica de una función mensurable?

Question

Deje $(X, \mathcal F)$ $(Y, \mathcal G)$ ser medibles espacios y $f:X\to Y$ ser una función medible. Deje $\Gamma_f:X\to X\times Y$ ser el mapa define como $\Gamma_f(x)=(x, f(x))$.

Pregunta. Es la imagen de $\Gamma_f(X)$ un subconjunto medible de $X\times Y$, en donde este último está equipado con el producto $\sigma$-álgebra?

La pregunta tiene respuesta en las formas afirmativas si $X=Y=\mathbf R$ y el sigma álgebras $\mathcal F$ $\mathcal G$ son los Borel $\sigma$-álgebras. Esto es debido a que el mapa de $X\times Y\to \mathbf R$ define como $(x, y)\mapsto y-f(x)$ es un mesurable función cuyo cero es exactamente $\Gamma_f(X)$.

Pero, ¿qué acerca de arbitrario medibles espacios?

Answer 1

No. Para un ejemplo muy sencillo, vamos a la $\sigma$-álgebras $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ ser trivial, que consta de sólo todo el espacio y el conjunto vacío. A continuación, el producto $\sigma$-álgebra es también trivial, por lo que no gráfica de una función es medible si $X$ $Y$ ambos tienen más de un punto. Sin embargo, cada función de $X\to Y$ es medible.

Para algunos menos trivial ejemplos, se puede demostrar que si $A\subseteq X\times Y$ es medible y escribimos $A_x=\{y\in Y:(x,y)\in A\}$, $\{A_x:x\in X\}$ tiene cardinalidad en la mayoría de las $2^{\aleph_0}$. De hecho, la colección de conjuntos de $A$ con esta propiedad se comprueba fácilmente a ser un $\sigma$-álgebra (usando el hecho de que $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$), y contiene todos los rectángulos, y por lo que contiene la $\sigma$-álgebra generada por medibles rectángulos.

Por lo tanto, si la gráfica de una función medible, su imagen puede contener a la mayoría de las $2^{\aleph_0}$ diferentes puntos. En particular, por ejemplo, si $X=Y$ es algunos medibles espacio de cardinalidad mayor que $2^{\aleph_0}$, en el gráfico de la identidad mapa no es mensurable.