Tengo algún problema de comprensión básica sobre esto. Se agradece cualquier ayuda:
La forma de volumen de $S^2 \subset R^3$ viene dada por
$$ \omega = x \ dy \land dz-y \ dx \land dz +z \ dx \land dy$$
En coordenadas polares esto se convierte en $$ \omega = sin\Theta\ d\Theta \land d\phi$$
Una forma de volumen debería ser no evanescente en todas las partes de la esfera. Pero cómo puede ser esto ya que en el polo $\Theta=0$ la forma parece desvanecerse de forma idéntica?
Segunda confusión: Una forma de volumen no puede ser exacta. Si lo fuera, por el uso de la ley de Stokes, el área de la esfera sería idéntica a cero, lo que no puede ser cierto. Sin embargo si uno escribe, $$ \omega = sin\Theta\ d\Theta \land d\phi=d(-cos\Theta \land d\phi)\equiv d\Lambda$$ donde $\Lambda=-cos\Theta \ d\phi$ $,\omega$ ¿¡Parece cerrado!?. $\Lambda$ parece monovaluada, suave y bien definida en todas partes en la esfera. ¿Qué hay de malo en $\Lambda$ ? ¿Cómo se puede ver que $\omega$ no es exacta sin recurrir al argumento basado en la ley de Stokes.
Muchas gracias.
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En el polo norte, el sistema de coordenadas polares esféricas se vuelve singular, por lo que todas las apuestas se cancelan... Lo mismo ocurre con su $\omega$ .
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Lo que está diciendo es que $\omega$ no desaparece en el polo; sólo lo parece debido a una mala parametrización en este punto. Si hubiera utilizado coordenadas cartesianas en su lugar, $\omega$ sería distinto de cero en todas partes. ¿Correcto?