Es posible demostrar que el número de números primos entre $0$ $n$ es mayor que el número de números primos entre $n$$2n$, para todos los $n > 10$? $$\pi(n)>\pi(2n)-\pi(n)$$
Por el teorema de los números primos, sabemos que:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(n)\pi(n)}{n}=1$$
así:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(n)=\frac{n}{\ln(n)}$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(2n)=\frac{2n}{\ln(2n)}$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(n)}{\pi(2n)}=\frac{n\ln(2n)}{2n\ln(n)}=\frac{\ln(2n)}{2\ln(n)}$$
Sabemos que:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ln(2n)}{2ln(n)}=\frac{1}{2}$$
por lo tanto:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(n)}{\pi(2n)}=\frac{1}{2}$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}2\pi(n)=\pi(2n)$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(n)=\pi(2n)-\pi(n)$$
Esto sugiere que a mi la desigualdad es falsa por $n=\infty$ porque: $$\pi(\infty)=\pi(2\infty)-\pi(\infty)$$
También, alguien me dijo que ya que la relación entre el $\pi(n)$ $\frac{n}{\ln(n)}$ es asintótica, hay una infinidad de n para el cual: $$\pi(n)<\pi(2n)-\pi(n)$$
pero a excepción de $n=2,4,10$, donde la diferencia entre el$\pi(n)$$\pi(2n)-\pi(n)$$0$, el resultado de $\left(\pi(n)\right)-\left(\pi(2n)-\pi(n)\right)$ parece crecer lentamente a medida que n crece. Ya que la densidad de los primos de disminuir a medida que n crece, no entiendo cómo no podría ser más números primos entre $n$ $2n$ entre $0$ $n$...
