Integrar por el método de los coeficientes indeterminados

Question

Estaba tratando de resolver esta integral utilizando el método de Coeficientes indeterminados .

$$\int x^3\cos(3x)\,dx$$

Mi libro de cálculo dice:

Lo intentamos:

$y=P(x)\cos(3x)+Q(x)\sin(3x)+C$ , donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios de grados $m$ y $n$ respectivamente.

$y'=P'(x)\cos(3x)-3P(x)\sin(3x)+Q'(x)\sin(3x)+3Q'(x)\cos(3x)=x^3\cos(3x)$

Igualando los coeficientes de las funciones trigonométricas similares, encontramos:

$P'(x)+3Q(x)=x^3$ y $Q'(x)-3P(x)=0$

La segunda de estas ecuaciones requiere que $m=n-1$ . De la primera concluimos concluimos que $n=3$ lo que implica que $m=2$ .

Con esta información puedo calcular la integral correcta, siendo: $$(-\frac{2}{27}+\frac{x^2}{3})\cos(3x)+(-\frac{2x}{9}+\frac{x^3}{3})\sin(3x)+C$$

PREGUNTA: Mi pregunta se refiere a la última frase. Dadas estas condiciones, ¿no podría ser también el caso de que $m=4$ y $n=5$ ? De hecho, he calculado que esto también daría la respuesta correcta, pero no entiendo del todo por qué hay dos opciones y qué está pasando aquí. Se agradecería cualquier aclaración al respecto.

Answer 1

Si se diferencia una vez más, se obtiene

$$P''(x)+9P(x)=3x^2$$ así $$\deg(P)=2$$

y $$Q''(x)=3x^3-9Q(x)$$ entonces $$\deg(Q)=3$$

Answer 2

Sabemos que el grado de $Q$ es uno más que el grado de $P$ . Tomando la derivada de $P$ sólo hace que el grado sea menor, por lo que en la expresión $P'(x)+3Q(x)$ , $3Q(x)$ tiene mayor grado que $P'(x)$ . Esto significa que la mayor potencia de $x$ que aparece en $Q(x)$ no puede ser anulado por $P'(x)$ . Así que si $P'(x)+3Q(x)=x^3$ entonces el $x^3$ debe proceder del término de mayor grado de $3Q(x)$ Así que $Q$ tiene grado $3$ .

No debería ser una sorpresa que aún así fueras capaz de encontrar la misma respuesta diciendo $Q$ tiene términos hasta el grado $5$ Sin embargo. Si escribes $$Q(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,$$ esta ecuación NO significa que $Q$ tiene grado $5$ ya que $a$ podría ser $0$ . Lo que dice esta ecuación es que $Q$ tiene grado como máximo $5$ . Así que usando esta representación de $Q$ , puede encontrar cualquier solución en la que $Q$ es un polinomio de grado máximo $5$ incluyendo el caso en el que $Q$ tiene grado $3$ (en ese caso sólo tendrá $a=b=0$ ).